domingo, 17 de junio de 2012

Consulta 737 / 747 - Objetivo 1

Por correo electrónico, una estudiante me preguntó lo siguiente:

Profesor encontré un ejercicio que dice lo siguiente:
Se disponen de 5 bolas rojas y 5 bolas negras en 8 cajas numeradas. ¿Cuantas maneras hay de hacerlo?

Mi pregunta es debe desarrollar tomando en cuenta que todas las cajas deben estar llenas? ¿O se puede trabajar por casos?

Mi respuesta:

Vamos a aclarar el problema un poco. Se tienen 5 pelotas negras y 5 pelotas rojas que se van a colocar en 8 cajas numeradas y hay que calcular de cuantas formas de pueden colocar las 10 pelotas (de 2 colores distintos) en las 8 cajas numeradas. Las pelotas negras/rojas son indistintas entre sí mientras que las cajas si son distintas entre sí porque están numeradas. La otra suposición importante es que aparentemente no hay restricciones con respecto a la capacidad de cada caja- por ejemplo, ¡una sola caja pudiese contener las 10 pelotas!

Creo que está claro que primero debemos de calcular de cuantas maneras se puede ubicar 5 pelotas de un color e indistintas entre sí en 8 cajas. Si esta cantidad es x, el número total de formas de distribuir las 10 pelotas (5 pelotas rojas y 5 pelotas negras) en 8 cajas numeradas sería x^2, según el principio de multiplicación.

Primeramente, podríamos distribuir las 5 pelotas en una sola caja y dejar las demás cajas vacías. ¿De cuantas maneras podríamos hacer esto? Pensemos ... Como tenemos 8 opciones, hay 8 formas de colocar un grupo de 5 pelotas en 8 cajas.

Seguidamente, podríamos tener un grupo de 4 pelotas y otro grupo de 1 pelota. Primero debemos de ubicar las 4 pelotas en una caja (8 opciones). Luego tenemos 7 cajas vacías para ubicar la quinta pelota (7 opciones). Por lo tanto hay 8x7=56 maneras de ubicar dos grupos de pelotas (de 4 y 1 pelota) en 8 cajas.


Pero también podríamos tener un grupo de 3 pelotas y otro grupo de 2 pelotas, con lo cual tendríamos también 8x7=56 maneras de distribuir esos dos grupos en 8 cajas numeradas. En total, hay 56+56=112 maneras de distribuir dos grupos de pelotas (de distintos tamaños) en 8 cajas numeradas. Nótese que en ambos casos, el número total de pelotas es 5 hay dos formas de separar esas 5 pelotas en 2 grupos de modo que las cantidades de pelotas en cada grupo sumen a 5.

¿Y si tuviésemos 3 grupos de pelotas? Hay dos formas de dividir 5 pelotas en 3 grupos: 2+2+1=5, 3+1+1=5. En cada caso, tenemos que ubicar el primer grupo de pelotas en una de las 8 cajas, luego el segundo grupo de pelotas en una de las 7 cajas remanentes y finalmente el tercer grupo de pelotas se puede ubicar en alguna de las 6 cajas que quedan. Por lo tanto, hay 3x8x7x6=1008 formas de distribuir 3 grupos de pelotas en 8 cajas numeradas. ¡Un momento! ¿Acaso poner un grupo de 2 pelotas en la caja N° 5 y otro grupo de 2 pelotas en la caja N° 4 no es lo mismo que poner un grupo de 2 pelotas en la caja N° 4 y el otro grupo de 2 pelotas en la caja N° 5? Tanto en el caso 2+2+1 como en el caso 3+1+1, hay dos grupos de igual tamaño. Por lo tanto, hay que dividir 1008 entre 2 (por que hay 2!=2 maneras de permutar 2 objetos) y en consecuencia, hay 504 formas de ubicar 3 grupos de pelotas en cajas numeradas.

En el caso de dividir las 5 pelotas en 4 grupos, tendríamos 1 sola manera de hacerlo: 2+1+1+1=5. En este caso, ubicamos el primer grupo de 2 pelotas en cualquiera de las 8 cajas, el segundo grupo de una pelota en una de las 7 cajas, etc. En total, son 8x7x6x5=1680 las formas de ubicar estos 4 grupos en 8 cajas pero debemos tomar en cuenta que hay 3 grupos de igual tamaño que se pueden permutar de 3!=6 maneras y por lo tanto, hay que dividir 1680 entre 6: 280.

Por último, también hay 1 sola manera de dividir las 5 pelotas en 5 grupos: 1+1+1+1+1=5.  Hay 8!/(3!x5!)=56 formas de ubicar 5 pelotas en 8 cajas de modo que a lo sumo haya una sola pelota en cada caja.

En total, hay 8+112+504+280+56=960 maneras de distribuir 5 pelotas de un color en 8 cajas numeradas.  Por lo tanto, x=960 y la respuesta definitiva al problema es x^2=921600.

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