jueves, 21 de marzo de 2013

Teoría de Conjuntos - Parte II

Habiendo definido los conceptos de membresía, igualdad entre conjuntos e inclusión, podemos definir algunas operaciones importantes entre conjuntos, como la unión y la intersección:

Definición – (Unión)
Sea \(A\) y \(B\) dos conjuntos.  La unión de \(A\) y \(B\) es el conjunto que contiene elementos de \(A\) o de \(B\):
\[ A \cup B = \{x \in \Omega | x\in A\quad o\quad x\in B\} \]
Definición – (Intersección)
Sea \(A\) y \(B\) dos conjuntos. La intersección de \(A\) y \(B\) es el conjunto que contiene elementos pertenecientes a \(A\) y a \(B\), simultáneamente:
\[ A \cap B = \{x\in \Omega| x\in A\quad y\quad x\in B\}\]
Es importante resaltar que la unión y la intersección de conjuntos son operaciones binarias: uno toma dos conjuntos, los une o los interfecta, y el resultado es un tercer conjunto. El concepto de operación binaria no debería serle extraño- la suma y la multiplicación que usted conoce desde la primaria son operaciones binarias. Como ocurre con la suma y la multiplicación, para las cuales sabemos que existen dos elementos especiales que son los elementos neutros respecto a estas dos operaciones (el 0 y el 1), la unión y la intersección tienen cada una su respectivo elemento neutro.En efecto, para cualquier subconjunto \(X\) del conjunto universal \(\Omega\), se tiene:

\[X \cap \Omega = X \qquad y \qquad X\cup\emptyset=X\]
Por otro lado, también se cumple que para cualquier conjunto \(X\) (subconjunto del conjunto universal):
\[X \cap \emptyset = \emptyset\qquad y \qquad X\cup\Omega =X \]
Existe otra operación binaria importante sobre conjuntos que es la diferencia:

Definición – (Diferencia)

Sea \(A\) y \(B\) dos conjuntos. La diferencia de \(A\) y \(B\) es el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a \(A\) pero no pertenecen a \(B\):

\[A - B = \{x\in\Omega|x\in A\quad y\quad x\notin B\}\]

Cuando tomamos la diferencia de el conjunto universal \(\Omega\) respecto a un conjunto \(X\subset\Omega\) cualquiera, definimos una operación unaria (de un solo argumento) llamada complemento:

Definición - (Complemento)
Sea \(X\subset\Omega\) un subconjunto cualquiera del conjunto universal. El complemento de \(X\) se denota por \(\overline{X}\) y se define como:
\[\overline{X}=\Omega-X=\{x\in\Omega|x\notin\Omega\}\]
En palabras- el complemento de un conjunto es el conjunto de todos aquellos elementos que no pertenecen a él.

Otro concepto importante de la teoría de conjuntos es el concepto de función de conjunto. Una función de conjunto es una función cuyo argumento (variable de entrada) es un conjunto.  Las funciones de conjuntos generalmente asocian conjuntos con números reales. Por ejemplo, una función de conjunto importante es la función cardinalidad, que se denota por \(|\,\cdot\,|\). Cuando trabajamos con conjuntos finitos, la cardinalidad de un conjunto es simplemente la cantidad de elementos que contiene ese conjunto. Por ejemplo:

  • \(A=\{a,b,c\}\) y \(|A|=3\)
  • \(B=\{-1,0,1,-19,23\}\) y \(|B|=5\)
  • \(C=\{x\in\mathbb{R}|x^2+2x+1=0\}\) y \(|C|=1\)
  • \(D=\{x\in \text{mamíferos}| \text{x no tiene sangre}\}\) y \(|D|=0\)
Otra función de conjuntos importante es la función de probabilidad. De hecho, la teoría de la probabilidad define los eventos como subconjuntos del espacio muestral (este último equivale al conjunto universal). Para cualquier evento, su probabilidad asociada es un número real entre 0 y 1, es decir, en el intervalo [0,1].


Cómo trabajar con conjuntos en lenguaje R

La instalación base de R no define un tipo de datos (o clase de objetos) para los conjuntos. Sin embargo, existen funciones en R que realizan operaciones de unión, intersección, diferencia de conjuntos y verificación de membresía para vectores. Si desea experimentar con las herramientas que se dan a continuación, recuerde que puede usar R a través de un RWeb server (en una página web), como los que se dan en los enlaces a continuación:


Las funciones de conjunto en R son union, intersect, setdiff, setequal, is.element:
  • union(x,y) da como resultado un vector que representa la unión de dos conjuntos dados como vectores (x e y).
  • intersect(x,y) da como resultado un vector que representa la intersección de dos conjuntos dados como vectores (x e y).
  • setdiff(x,y) es la diferencia entre dos conjuntos, representada matemáticamente por \(X-Y\).
  • setequal(x,y) verifica si dos conjuntos (representados por los vectores x e y), son iguales.
  • is.element(x,y) es equivalente a x%in%y, y verifica si el elemento x pertenece al conjunto y.
A continuación damos unos ejemplos en código (que usted puede copiar y pegar en la consola o en la ventana de código del RWeb server), donde las variables A y B representarán conjuntos de personas:
A <- c("jose","isabela","jose","pedro",
       "juan","susana","maria")
B <- c("maria","miguel","ruth","pedro","gloria")
"pedro"%in%A
"ruth"%in%A
union(A,B)
intersect(A,B)
setdiff(B,A)
Después de ingresar el script anterior en la cónsola o en la ventana de código del RWeb server, observe los resultados de las últimas 4 instrucciones. "pedro"%in%A verifica si "pedro" pertenece al conjunto A. Como en efecto "pedro" pertenece al conjunto A, esta instrucción devuelve TRUE (verdadero). De manera análoga, "ruth"%in%A devuelve FALSE (falso), porque "ruth" no pertenece al conjunto A.

Observe que algunas de las representaciones vectoriales de los conjuntos A y B incluyen a un mismo elemento más de una vez en el conjunto respectivo.  Tal es el caso de "jose" en el vector que define al conjunto A (aparece dos veces).  Matemáticamente, figurar varias veces en un conjunto equivale a figurar en ese conjunto, pues un elemento cualquiera, o está o no está en un conjunto.  De alguna manera, el interprete R (o mejor dicho, la implementación de las funciones de conjunto en R) distinguen estas situaciones.  Así por ejemplo, cuando realizamos la operación de unión de los conjuntos A y B, esta devuelve lo siguiente:
[1] "jose"    "isabela" "pedro"   "juan"    "susana"
[6] "maria"   "miguel"  "ruth"    "gloria"
En el resultado anterior, puede observar que tras unir los conjuntos A y B, cada persona se denota una sola vez. La operación de intersección devuelve el conjunto conformado por todos aquellos elementos comunes a A y a B, de modo que el resultado de la instrucción intersect(A,B) es:
[1] "pedro" "maria"
De forma análoga, la diferencia \(B-A\), que es el conjunto de todos los elementos de B que no están en A, es el resultado de la instrucción setdiff(B,A):
[1] "miguel" "ruth"   "gloria"

Referencias Bibliográficas

  • LIPSCHUTZ, S. (1991). Teoría de Conjuntos y Temas Afínes. Serie Schaum. McGraw-Hill. Caracas.
  • MONAGAS, O., ORELLANA, M. y RIVAS, A. (1994). Algebra I – Tomo I. Caracas: Universidad Nacional Abierta.
  • PREPARATA, F. y YEH, R. (1973). Introduction to Discrete Structures. Reading, Massachussets: Addison-Wesley Publishing Co.
  • R Development Core Team (2008). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0.

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