The Lending Club - parte I

El Lending Club es un portal de internet que reúne a inversionistas y prestatarios. Según la información en su portal (http://www.lendingclub.com), los inversionistas obtienen mayores márgenes de rentabilidad que los que obtendrían a través de otros instrumentos de inversión más tradicionales, mientras que los prestatarios, que pueden obtener créditos personales de hasta $35000, terminan pagando tasas de intereses un poco más bajas que las de la banca convencional. Para optar a un crédito, los prestatarios deben reunir ciertos requisitos: una puntuación crediticia mínima de 660 puntos FICO, un coeficiente de deuda a ingresos máximo de 35%, por lo menos dos líneas crediticias activas, entre otros. La información de cada solicitud de crédito se evalúa y se "publica" el préstamo en el portal a determinada tasa de interés fijo y a un plazo determinado para captar inversionistas. Y por supuesto, el Lending Club cobra una comisión en intereses por cada préstamo tramitado.

Es menester explicar algunos términos que se emplean en el contexto crediticio estadounidense, como por ejemplo la puntuación FICO. Básicamente, la puntuación FICO representa la calificación crediticia de un individuo. Es un número en el rango de 300 a 850, donde los valores más altos representan mejores historiales crediticios. La puntuación FICO influye de manera determinante sobre la decisión de otorgar o negar préstamos y sobre las tasas de interés de esos prestamos. Puede leer más sobre esto en ¿Qué es el puntaje de crédito FICO?. Otro factor que influye sobre el otorgamiento de créditos son los denominados inquiries o indagaciones, que son la cantidad de veces que algún comercio ha solicitado una copia certificada del reporte crediticio de un individuo que es emitido por alguna de las tres agencias que otorgan la calificación FICO en Estados Unidos. Por último, es preciso destacar que los créditos del Lending Club se otorgan sin garantía hipotecaria.

Desde la página web del Lending Club se puede descargar la data referente a miles de solicitudes de crédito que se han tramitado por este portal. Cada solicitud contiene data sobre el historial crediticio del solicitante, alguna data personal y financiera (como por ejemplo los ingresos mensuales, tiempo en el empleo actual, etc.), el monto solicitado y el propósito del préstamo y finalmente, la tasa de interés fija del crédito aprobado.

Supongamos ahora que Ud. está creando un portal similar al Lending Club y desea saber lo siguiente:

¿Cuales son los mecanismos que usa el Lending Club para fijar las tasas de interés de un crédito? ¿Cuales otros factores, aparte de la calificación FICO, influyen sobre este cálculo y cómo?

El problema anterior fue planteado como trabajo práctico para un curso on-line que acabo de culminar, llamado "Data Analysis", facilitado por el Profesor Jeff Leek de la Universidad John Hopkins-Bloomberg. Originalmente, para esta asignación había que aplicar un proceso preparatorio de la data (conocido como data munging) para poder tener una data con la cual se pueda trabajar. En la vida real, es necesario preparar los datos antes de poderlos procesar en R o cualquier aplicación estadística, pues los datos en su forma original (en una página web o un informe en pdf) muchas veces no están aptos para ser procesados estadísticamente. En esta oportunidad, yo les facilitaré los datos en una forma directamente utilizable en R (como un archivo con extensión .Rda), pues mi intención en esta serie de entradas sobre el problema del Lending Club es ilustrar cómo

• Realizar un análisis exploratorio de datos para descubrir las posibles asociaciones entre las variables. Esto se hará en la segunda parte de esta entrada
• Construir algunos modelos de regresión lineal, evaluarlos y compararlos entre sí.
• Detectar algunos problemas que surgen en la regresión lineal: variables de confusión, multicolinealidad, asociaciones no lineales entre las variables, heteroscedasticidad de los residuos, entre otros. Estos dos últimos se abordarán en la tercera y última parte de esta serie de entradas.

Espero que esta serie de entradas les sea de utilidad a los cursantes de las asignaturas 746, 738 y 748, quienes deben realizar un trabajo práctico sobre regresión lineal. En las próximas entradas desarrollaré los puntos mencionados arriba. Utilizaré para ello el lenguaje R y como de costumbre, podrán ver las instrucciones en R utilizadas y la interpretación de los resultados que estas arrojan y de esta forma reproducir los análisis que se harán.

Como citar esta entrada

Romero, J. (Marzo, 2013). The Lending Club - parte I. [Entrada de blog]. Recuperado desde http://unamatematicaseltigre.blogspot.com/2013/03/the-lending-club-parte-i.html.


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Teoría de Conjuntos - Parte II

Habiendo definido los conceptos de membresía, igualdad entre conjuntos e inclusión, podemos definir algunas operaciones importantes entre conjuntos, como la unión y la intersección:

Definición – (Unión)

Sea \(A\) y \(B\) dos conjuntos.  La unión de \(A\) y \(B\) es el conjunto que contiene elementos de \(A\) o de \(B\):

\[ A \cup B = \{x \in \Omega | x\in A\quad o\quad x\in B\} \]
Definición – (Intersección)

Sea \(A\) y \(B\) dos conjuntos. La intersección de \(A\) y \(B\) es el conjunto que contiene elementos pertenecientes a \(A\) y a \(B\), simultáneamente:

\[ A \cap B = \{x\in \Omega| x\in A\quad y\quad x\in B\}\]

Es importante resaltar que la unión y la intersección de conjuntos son operaciones binarias: uno toma dos conjuntos, los une o los interfecta, y el resultado es un tercer conjunto. El concepto de operación binaria no debería serle extraño- la suma y la multiplicación que usted conoce desde la primaria son operaciones binarias. Como ocurre con la suma y la multiplicación, para las cuales sabemos que existen dos elementos especiales que son los elementos neutros respecto a estas dos operaciones (el 0 y el 1), la unión y la intersección tienen cada una su respectivo elemento neutro.En efecto, para cualquier subconjunto \(X\) del conjunto universal \(\Omega\), se tiene:

\[X \cap \Omega = X \qquad y \qquad X\cup\emptyset=X\]

Por otro lado, también se cumple que para cualquier conjunto \(X\) (subconjunto del conjunto universal):

\[X \cap \emptyset = \emptyset\qquad y \qquad X\cup\Omega =X \]

Existe otra operación binaria importante sobre conjuntos que es la diferencia:

Definición – (Diferencia)

Sea \(A\) y \(B\) dos conjuntos. La diferencia de \(A\) y \(B\) es el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a \(A\) pero no pertenecen a \(B\):

\[A - B = \{x\in\Omega|x\in A\quad y\quad x\notin B\}\]

Cuando tomamos la diferencia de el conjunto universal \(\Omega\) respecto a un conjunto \(X\subset\Omega\) cualquiera, definimos una operación unaria (de un solo argumento) llamada complemento:

Definición - (Complemento)

Sea \(X\subset\Omega\) un subconjunto cualquiera del conjunto universal. El complemento de \(X\) se denota por \(\overline{X}\) y se define como:

\[\overline{X}=\Omega-X=\{x\in\Omega|x\notin\Omega\}\]

En palabras- el complemento de un conjunto es el conjunto de todos aquellos elementos que no pertenecen a él.

Otro concepto importante de la teoría de conjuntos es el concepto de función de conjunto. Una función de conjunto es una función cuyo argumento (variable de entrada) es un conjunto.  Las funciones de conjuntos generalmente asocian conjuntos con números reales. Por ejemplo, una función de conjunto importante es la función cardinalidad, que se denota por \(|\,\cdot\,|\). Cuando trabajamos con conjuntos finitos, la cardinalidad de un conjunto es simplemente la cantidad de elementos que contiene ese conjunto. Por ejemplo:

• \(A=\{a,b,c\}\) y \(|A|=3\)
• \(B=\{-1,0,1,-19,23\}\) y \(|B|=5\)
• \(C=\{x\in\mathbb{R}|x^2+2x+1=0\}\) y \(|C|=1\)
• \(D=\{x\in \text{mamíferos}| \text{x no tiene sangre}\}\) y \(|D|=0\)

Otra función de conjuntos importante es la función de probabilidad. De hecho, la teoría de la probabilidad define los eventos como subconjuntos del espacio muestral (este último equivale al conjunto universal). Para cualquier evento, su probabilidad asociada es un número real entre 0 y 1, es decir, en el intervalo [0,1].

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Cómo trabajar con conjuntos en lenguaje R

La instalación base de R no define un tipo de datos (o clase de objetos) para los conjuntos. Sin embargo, existen funciones en R que realizan operaciones de unión, intersección, diferencia de conjuntos y verificación de membresía para vectores. Si desea experimentar con las herramientas que se dan a continuación, recuerde que puede usar R a través de un RWeb server (en una página web), como los que se dan en los enlaces a continuación:

• http://data-engine.tama.ac.jp/Rweb/Rweb.general.html
• http://pbil.univ-lyon1.fr/Rweb/
• http://claree.univ-lille1.fr/Rweb/

Las funciones de conjunto en R son union, intersect, setdiff, setequal, is.element:

• union(x,y) da como resultado un vector que representa la unión de dos conjuntos dados como vectores (x e y).
• intersect(x,y) da como resultado un vector que representa la intersección de dos conjuntos dados como vectores (x e y).
• setdiff(x,y) es la diferencia entre dos conjuntos, representada matemáticamente por \(X-Y\).
• setequal(x,y) verifica si dos conjuntos (representados por los vectores x e y), son iguales.
• is.element(x,y) es equivalente a x%in%y, y verifica si el elemento x pertenece al conjunto y.

A continuación damos unos ejemplos en código (que usted puede copiar y pegar en la consola o en la ventana de código del RWeb server), donde las variables A y B representarán conjuntos de personas:

A <- c("jose","isabela","jose","pedro",
       "juan","susana","maria")
B <- c("maria","miguel","ruth","pedro","gloria")
"pedro"%in%A
"ruth"%in%A
union(A,B)
intersect(A,B)
setdiff(B,A)

Después de ingresar el script anterior en la cónsola o en la ventana de código del RWeb server, observe los resultados de las últimas 4 instrucciones. "pedro"%in%A verifica si "pedro" pertenece al conjunto A. Como en efecto "pedro" pertenece al conjunto A, esta instrucción devuelve TRUE (verdadero). De manera análoga, "ruth"%in%A devuelve FALSE (falso), porque "ruth" no pertenece al conjunto A.

Observe que algunas de las representaciones vectoriales de los conjuntos A y B incluyen a un mismo elemento más de una vez en el conjunto respectivo.  Tal es el caso de "jose" en el vector que define al conjunto A (aparece dos veces).  Matemáticamente, figurar varias veces en un conjunto equivale a figurar en ese conjunto, pues un elemento cualquiera, o está o no está en un conjunto.  De alguna manera, el interprete R (o mejor dicho, la implementación de las funciones de conjunto en R) distinguen estas situaciones.  Así por ejemplo, cuando realizamos la operación de unión de los conjuntos A y B, esta devuelve lo siguiente:

[1] "jose"    "isabela" "pedro"   "juan"    "susana"
[6] "maria"   "miguel"  "ruth"    "gloria"

En el resultado anterior, puede observar que tras unir los conjuntos A y B, cada persona se denota una sola vez. La operación de intersección devuelve el conjunto conformado por todos aquellos elementos comunes a A y a B, de modo que el resultado de la instrucción intersect(A,B) es:

[1] "pedro" "maria"

De forma análoga, la diferencia \(B-A\), que es el conjunto de todos los elementos de B que no están en A, es el resultado de la instrucción setdiff(B,A):

[1] "miguel" "ruth"   "gloria"

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Referencias Bibliográficas

• LIPSCHUTZ, S. (1991). Teoría de Conjuntos y Temas Afínes. Serie Schaum. McGraw-Hill. Caracas.
• MONAGAS, O., ORELLANA, M. y RIVAS, A. (1994). Algebra I – Tomo I. Caracas: Universidad Nacional Abierta.
• PREPARATA, F. y YEH, R. (1973). Introduction to Discrete Structures. Reading, Massachussets: Addison-Wesley Publishing Co.
• R Development Core Team (2008). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0.

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Observaciones sobre el trabajo de estadística (regresión lineal) del semestre 2013-1

He visto que algunos tienen dudas respecto al trabajo de estadística para este semestre, en particular lo referente a la regresión lineal, que forma parte de los objetivos a evaluar para las asignaturas 745, 738 y 748.

Primero, debo aclarar, una vez más, lo siguiente:

NO ES OBLIGATORIO EL USO DE R PARA LA REALIZACIÓN DE ESTE TRABAJO.  POR RAZONES HARTO EXPLICADAS EN ESTA PÁGINA, YO RECOMIENDO EL USO DE R, PERO EL ESTUDIANTE PUEDE OPTAR POR USAR EXCEL, SAS, SPSS, MINITAB O CUALQUIER APLICACION ESTADÍSTICA (Excel es un programa de hoja de cálculo, no una aplicación para la estadística). LO QUE SE REQUIERE ES REALIZAR LAS ACTIVIDADES QUE SE PIDEN EN EL ENUNCIADO CORRECTAMENTE.

Al momento de elegir la aplicación con la cual trabajarán, deben preguntarse: ¿Qué es lo que se requiere que el estudiante realice correctamente?  Se copia la parte del enunciado detallando las actividades a realizar:

6.1. Obtener los siguientes modelos de regresión lineal múltiple,
        Modelo 1: Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 + b3 X3 + b4 X4 + b6 X6 +b7 X7 + b8 X8 + b9 X9
        Modelo 2: Y = b1 X1 + b2 X2 + b3 X3 + b4 X4 + b6 X6 + b7 X7 + b8 X8 + b9 X9
6.2. Explicar cual de los modelos anteriores consideraría para realizar el estudio.
6.3. Estudiar la posibilidad de colinealidad o multicolinealidad en el modelo

        considerado en la pregunta anterior. Si existe, corregir este problema y obtener el

        nuevo modelo.
6.4. Partiendo del modelo obtenido en la pregunta 6.3, explicar todos los resultados

        arrojados por el programa (coeficientes y estadísticos).
6.5. Utilizar el procedimiento de regresión paso a paso (eliminación hacia atrás) para

        encontrar el modelo que mejor se ajusta. Interprete los coeficientes de este último

        modelo.
6.6. Considere una nueva variable,
        X11=(X3+X4)/2.
        Construir el siguiente modelo,
        Y = b1 X1 + b2 X2 + b7 X7 + b8 X8 + b9 X9 + b11 X11
        Realizar el procedimiento indicado en 6.5.
6.7. Explicar cual de los modelos obtenidos en 6.5 y 6.6 representa “mejor” la situación

         bajo estudio.
6.8. Realizar un análisis de residuos para los modelos obtenidos en los puntos 6.5

        y 6.6.
6.9. Explicar los fundamentos teóricos que justifican o no, todos los pasos seguidos

        desde el ítem 6.1. hasta el ítem 6.8.

Antes de elaborar el trabajo, asegúrese de manejar los fundamentos de la técnica de regresión lineal.  ¿Sabe usted qué es la regresión lineal y qué es un modelo de regresión lineal? ¿Sabe en qué consiste un análisis de residuos y cuál es la importancia de realizarlo? ¿Sabe en que consiste el procedimiento de regresión paso a paso (eliminación hacia atrás)? ¿Sabe cómo determinar la colinealidad entre dos variables? ¿Entre múltiples variables? ¿Sabe porqué es problemático  trabajar con variables predictoras que sean colineales entre sí? ¿Sabe cómo evaluar o comparar modelos y cómo esto va más allá de comparar sus coeficiente de determinación? ¿Sabe cómo interpretar un modelo de regresión lineal y determinar cuales variables predictoras son significativas? ¿Sabía que las variables categóricas no se pueden utilizar directamente como variables cuantitativas sin antes transformarlas en variables indicadoras?

He puesto a su alcance ciertos recursos que serán de utilidad.  En la parte inferior de la página http://unamatematicaseltigre.blogspot.com/p/estadistica-aplicada.html podrán ubicar la bibliografía más relevante.  Los capítulos 13 y 14 del Canavos tratan en detalle el tema de la regresión lineal, incluyendo información detallada sobre el problema de la multicolinealidad, las variables indicadoras y el análisis de residuos.  El Webster no es tan extenso, pero lo menciono porque es el texto principal de la asignatura.  Además de esto, he escrito una monografía sobre el análisis de residuos cuya lectura recomiendo.

Me he dedicado laboriosamente a poner a su alcance varias herramientas computacionales y guias tutoriales sobre su uso.   Consideren estos recursos cómo herramientas- su buen uso depende del criterio de ustedes y de lo que desean realizar.  Si optan por usar R y la librería estUNA que he creado para tal fin, estudien detenidamente los siguientes recursos:

• Un tutorial sobre como descargar e instalar R o utilizarlo a través de un servidor web: https://dl.dropbox.com/u/25445316/unamatematicaseltigre/conseguirR.html
• Un tutorial de introducción a la programación en R, cubriendo los aspectos básicos de este lenguaje de programación: https://dl.dropbox.com/u/25445316/unamatematicaseltigre/introduccionR.html
• Un tutorial sobre el uso de la librería estUNA (https://dl.dropbox.com/u/25445316/unamatematicaseltigre/estUNA.html). En este tutorial se trabaja con la data del semestre 2010-2 para ilustrar cómo dar cumplimiento a los distintos requerimientos de los trabajos prácticos de estadística para ese semestre.  Debe buscar la parte de este tutorial que ejemplifica lo que usted desee realizar (la regresión lineal).
• La monografía sobre análisis de residuos antes mencionada.
• Una entrada de este blog ilustrando cómo realizar la regresión lineal mediante el procedimiento de regresión paso a paso (eliminación hacia atrás).
• En esta página hay otros ejemplos de cómo usar R que pueden buscar mediante palabras claves como: 746, R, estUNA, entre otras
• Una serie de entradas referentes al problema de determinar cuales factores inciden en la determinación de las tasas de interés de créditos personales: The Lending Club - parte 1, parte 2 y parte 3.  En la parte 2 de estas entradas, se da un ejemplo de cómo detectar (y cuantificar) la colinealidad entre las variables.  En la parte 3, se construyen y se evalúan varios modelos de regresión lineal.

Si optan por usar R con mi librería y presentan problemas con su descarga o uso, deben describir detalladamente el error que presentan.  Si sólo me indican que "no logran usar el R", o "me sale un error", sin indicar la secuencia de comandos que están intentando ejecutar, cuál es la salida del interprete y el aviso de error, cuál plataforma/sistema operativo o versión de R están usando, no les puedo ser de mucha ayuda.  Tampoco haré el trabajo por ustedes.

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Trabajos de estadística para el semestre 2013-1

Ya están disponibles los enunciados para los trabajos prácticos de estadística del semestre 2013-1, elaborados por Nivel Central.  Los enlaces se dan a continuación (según http://areamatematicas.galeon.com/):

• 745 - Estadística General
• 746 - Estadística Aplicada
• 738/748 - Inferencia Estadística
• Data en Excel
• Normas para la elaboración del informe

Sobre las fechas de entrega, se ha escrito en los enunciados lo siguiente:

La evaluación del trabajo comprende dos entregas obligatorias:

• 1era Entrega: primera versión del informe final entre el 15/04/2013 y el 20/04/2013, en esta oportunidad el trabajo será revisado por el asesor y el participante debe registrar las observaciones pertinentes a fin de realizar las correcciones, pues el trabajo lo retiene el asesor hasta la entrega final con el objeto de verificar que las correcciones fueron realizadas.
• 2da Entrega: Versión final del trabajo entre el 20/05/2013 y el 25/05/2013
  improrrogable. De no respetar las dos entregas en los lapsos correspondientes queda a discreción del asesor considerar reprobado el trabajo.

Cómo de costumbre, las entregas se pueden hacer enviando a mi correo el informe en Open Office, PDF o Word (ojo, versión 2003, no enviar en versión 2007 o posterior).

Les recomiendo (aunque no es obligatorio) el uso de R para la elaboración de este trabajo.  La data para este semestre ya está incorporada en mi librería estUNA.

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Teoria de Conjuntos - Parte I

Cuando era estudiante en la U.N.A., el material instruccional de Matemáticas I era de un solo tomo grande, en vez de los cuatro tomos que lo componen actualmente.  Dentro de ese único tomo, había una unidad - la Unidad 0 - que, como no era evaluable según el plan de evaluación, casi nadie la estudiaba.  Eventualmente llegue a la conclusión que el estudio de esta Unidad 0 era determinante para entender el resto de la materia.  Muchos de mis compañeros de estudio se quejaban porque las matemáticas en la UNA eran distintas a las que se veían en otras universidades - ellos no habían estudiado la Unidad 0.  De hecho, el contenido de la Unidad 0 sentaba las bases para el resto de las materias del área de matemáticas.  ¿Cuál era entonces el contenido de la Unidad 0?

Teoría de Conjuntos

La Teoría de Conjuntos es una rama fundamental de las matemáticas. Pareciera ser que cualquier objeto matemático es reducible a un conjunto provisto de cierta estructura algebraica o topológica y de ciertas relaciones definidas sobre él. Este enfoque “conjuntista” es un legado importante de las matemáticas del siglo XX; de ahí que los estudiantes se comiencen a familiarizar desde la secundaria con algunos rudimentos de la teoría de conjuntos y la teoría de grupos- la popularmente denominada “matemática moderna”.

Sin embargo, las nociones que fundamentan las premisas más básicas de la teoría de conjuntos no son en lo absoluto modernas. En la evolución y el desarrollo del psiquismo humano, el descubrimiento de que varias entidades antes consideradas distintas pudiesen ser agrupadas en un solo colectivo de acuerdo a ciertas características comunes y puestas en correspondencia uno a uno con otros conglomerados de igual cantidad fue quizás el primer acto de pensamiento humano. Pero este descubrimiento es de naturaleza matemática, porque conlleva simultáneamente la idea de número y conjunto. Incluso, si se reflexiona un poco más sobre ello, este proceder matemático antecede seguramente a la aparición del lenguaje, considerando que para formar palabras ha de agruparse primero varias instancias de objetos reales bajo un solo concepto.Esta operación mental de agrupar varios objetos bajo en una sola clase da origen a la idea del conjunto.

El concepto de conjunto

Cualquier objeto real o conceptual puede ser elemento de algún conjunto. Elemento y conjunto son partes constituyentes de un mismo concepto- el uno se define en función del otro. Ambos términos son por lo tanto indefinibles y se supone en lo sucesivo que el significado de estas nociones primitivas son conocidos por todos. No obstante, se pueden enumerar algunas palabras sinónimas de ellas:

• Conjunto: colección, grupo, clase, conglomerado, colectivo, población, …
• Elemento: miembro, representante, constituyente, …

Conjunto y elemento son dos conceptos relativos- un conjunto a su vez puede ser elemento de otro conjunto de conjuntos y esta operación de síntesis puede efectuarse ad infinitum. Sin embargo, nos interesa resaltar aquí que la operación de síntesis entraña reunir elementos del mismo tipo o de la misma clase.Dicho de otra manera, \(\{a,\{a,b\}\}\) no es, por ejemplo, un conjunto válidamente constituido, pues sus partes \(a\) y \(\{a,b\}\) no son del mismo tipo, sea cual sea la naturaleza de los objetos \(a\) y \(b\), porque \(a\) es un elemento singular y \(\{a,b\}\) es un elemento que a su vez es conjunto.  Para dar mayor consistencia al concepto de conjunto, es menester definir con la mayor precisión posible cuál es la naturaleza común de los elementos que constituyen al conjunto.  Así, manzana, cambur, mandarina y ciruela constituyen un conjunto de frutas (frutas es la clase común). Reunir un teléfono celular viejo, unos anteojos pandos y un carro Volkswagen Escarabajo chocado por los cuatro costados como elementos de un mismo conjunto tendría sentido si ese conjunto representa los bienes materiales propiedad de quien esto escribe, aún cuando estos objetos no tienen aparentemente nada en común.  En todo caso, en ambos ejemplos se ha definido con cierta precisión el universo del discurso, lo cual permite  comparar diversos conjuntos entre si y realizar operaciones entre ellos, como la unión, la intersección y la complementación.  El universo del discurso es el conjunto que generaliza a todos los subconjuntos en cuestión- como indica el término discurso, este define el tipo o la naturaleza más general a la cual se refieren las consecuencias derivadas lógicamente del modelo conjuntista.

Para definir un conjunto, es necesario disponer de un criterio que permita establecer claramente si un objeto cualquiera es miembro o no de ese conjunto.  En la teoría de conjuntos clásica, solo hay dos alternativas con respecto a la membresía: un elemento o pertenece o no pertenece a un determinado conjunto.Recientemente, se ha definido un tipo de conjunto, denominado conjunto difuso, para superar esta limitación.  Considérese por ejemplo el conjunto de personas pobres. Sin duda, ni Bill Gates ni el Rey Abdullah de Arabia Saudita pertenecen a este conjunto. Por otro lado, un indigente sin techo y sin fuente de ingresos pertenece claramente a este conjunto. Pero, ¿que hay del resto de nosotros? En ese punto el criterio de membresía al conjunto de los pobres se vuelve difuso. Pareciera que algunos “pertenecemos más” al conjunto de pobres que otros- sobre todo los que subsistimos con un salario de profesor universitario. El prometedor concepto de conjunto difuso pretende modelar más adecuadamente este tipo de realidades, pero no será tratado en esta entrada del blog ni en su segunda parte.

Tomando en cuenta el criterio de membresía de un conjunto, existen dos formas de definirlo explícitamente.  La primera forma es definiéndolo por extensión, lo cual consiste en enumerar los elementos en una lista, separándolos por comas y encerrando la lista en llaves.  Por ejemplo: \(\{a,b,c,d,e,f\}\)

Esto es posible solo cuando la cantidad de elementos de ese conjunto (su cardinalidad) es finita o por lo menos, sus elementos son enumerables. Técnicamente hablando, la enumerabilidad o la finitud de un conjunto se refieren a que es posible establecer una correspondencia uno-a-uno de sus elementos con los elementos de algún subconjunto de los números naturales. Cuando esto no es posible, como en el caso de los números reales en el intervalo \((0,1)\), por ejemplo, se dice que aquel conjunto tiene la potencia del continuo. Como se dijo en la introducción, las matemáticas discretas tratan solamente con conjuntos enumerables- los conjuntos con potencia del continuo no serán objeto de este curso.

En cuanto a los conjuntos definidos por extensión es importante notar que el orden de enumeración o la multiplicidad con la que figuran los objetos en la lista es irrelevante para este tipo de estructuras matemáticas.  Así por ejemplo:

• \(\{a,b,c,d\} = \{d,b,a,c\}\) : Se trata del mismo conjunto, irrespectivo del orden de enumeración de los elementos.
• \(\{a,b,b,c,c,c\} = \{a,b,c\}\): Se trata del mismo conjunto, irrespectivo de cuantas veces se enumera un mismo elemento.

Si en el sistema que deseamos modelar es relevante el orden o la multiplicidad en la enumeración de los constituyentes de una colección, entonces debemos considerar utilizar otras estructuras matemáticas alternativas al conjunto.Obsérvese que el criterio de membresía implícito en la definición de un conjunto por extensión es bastante sencillo y por decirlo de alguna manera, arbitrario: un elemento pertenece al conjunto si y solo si figura en la lista de enumeración.

El otro método para definir conjuntos es por comprensión. Para definir un conjunto por comprensión, se requiere formular el criterio de membresía explícitamente mediante las proposiciones o relaciones lógicas que cumplen los elementos del conjunto.Por ejemplo:

El conjunto de todos los puntos de la recta real que distan de 5 en no más de 2 unidades es  \(\{x\in\mathbb{R}\vert \,|x-5|\leq 2\}\).

Este conjunto contiene una infinidad de elementos, pero su cardinalidad es de un orden mayor que la cardinalidad de un conjunto infinito pero enumerable.  De hecho, tiene potencia la del continuo.  Obsérvese que sin embargo, esta infinitud de elementos se reúne bajo una simple sentencia en lenguaje natural o una aún más sucinta frase en el lenguaje matemático de la notación de conjuntos.  Tal es el poder del lenguaje matemático.   Podría decirse que el mayor o menor grado de éxito en desarrollar un modelo matemático que permita establecer inferencias significativas dentro del contexto de una determinada realidad depende principalmente de la habilidad del investigador de “traducir” la esencia de la realidad o problema a una formulación del mismo en lenguaje matemático.

En el ejemplo anterior figuran algunos elementos de notación que vale la pena destacar. El símbolo “\(\in\)” indica membresía.  Por convención, los conjuntos se denotan por letras mayúsculas (A,B,C,…) y los elementos por letras minúsculas. Entonces, si A es un conjunto y x es un elemento, la frase \(x\in A\) es una proposición lógica- algo que tiene valor de verdad o falsedad según x sea miembro o no del conjunto A. Dicho sea de paso, si se quisiera expresar la no pertenencia se utilizaría el símbolo “\(\notin\)”: \(x\notin A\) se traduce por “x no pertenece al conjunto A”. El otro aspecto de la notación que vale la pena señalar es el símbolo “|” que aparece después de la proposición de membresía en el ejemplo. “|” puede traducir por “tales que” e indica efectivamente que los elementos señalados en la proposición anterior han de cumplir con la o las propiedades que se dan seguidamente para pertenecer al conjunto en cuestión.

Existen dos conjuntos especiales en cuanto a sus relaciones con la noción de membresía. Uno de ellos es el conjunto vacío, denotado por el símbolo \(\emptyset\). Por definición, \(\emptyset\) es el conjunto sin elementos- ningún elemento pertenece a el:

\[\emptyset=\{\}\qquad\text{y}\qquad\forall x:\, x\notin\emptyset\]

En contraposición, el conjunto universal o universo del discurso es el conjunto más general posible- todo elemento pertenece a este conjunto. El conjunto universal es la clase de objetos admisibles dentro de un contexto o discurso y se supone que ha sido determinado a priori. Lo denotaremos aquí por la letra griega omega \(\Omega\):

\[\forall x: x\in\Omega\]

Otra noción importante es la noción de igualdad o equivalencia entre conjuntos.  Dos conjuntos se consideran iguales si todo elemento de uno es miembro del otro y viceversa.  Formalmente, tenemos la siguiente

Definición – (Igualdad entre conjuntos)

Sea A y B dos conjuntos.  A y B son iguales si y solo si cualquier elemento \(a\in A\) pertenece a B y cualquier elemento \(b\in B\) es miembro de A.  En notación matemática:

\[A=B\quad \iff\quad  x\in A\, \rightarrow\, x\in B\,\text{ y }\, x\in B\,\rightarrow\, x\in A\]

La igualdad entre conjuntos también se puede definir por medio del concepto de inclusión.  Un conjunto incluye a otro conjunto cuando todo miembro de este es también miembro de aquel.

Definición – (Inclusión)

Sea A y B dos conjuntos.  B incluye A o equivalentemente, A esta incluido en B (\(A\subset B\))  cuando todo elemento de A pertenece a B.   En notación matemática:

\[A\subseteq B\quad\iff\quad   x\in A \rightarrow  x\in B\]

Según esto, tenemos como consecuencia que

\[A=B\quad \iff\quad A\subseteq B\, \text{y}\, B\subseteq A\]

y que además

\[\emptyset \subset A\text{ para cualquier conjunto A}\]

porque como \(\emptyset\) no contiene elementos, la implicación \(x\in \emptyset\,\rightarrow\, x\in A\) siempre es verdadera para cualquier conjunto A.  Nótese que el símbolo \(\subset\) denota inclusión estricta, es decir, cuando un conjunto es subconjunto de otro excluyendo la posibilidad que ambos conjuntos sean iguales.

Una cuestión interesante es determinar, para un conjunto de cardinalidad finita con \(n\) elementos, cuantos subconjuntos de este se pueden formar.  Si el conjunto en cuestión \(X\) tiene por lo menos un elemento, entonces de forma trivial se tienen por lo menos dos subconjuntos de él distintos: \(\emptyset\) y \(X\) mismo.  Se puede aseverar que para un conjunto con \(n\) elementos, existen \(2^n\) subconjuntos distintos.  No se pretende en lo que sigue dar una demostración matemática rigurosa de esta afirmación, sino más bien argumentarla de forma intuitiva en un lenguaje computista: imagínese que se tiene una cadena de \(n\) bits donde el valor de cada bit indica la membresía del elemento correspondiente en el subconjunto.   Como cada bit asume uno de dos posibles valores en \(\{0,1\}\) y la cadena asociada al subconjunto es de \(n\) bits, existen \(2^n\) secuencias de bits distintas y por lo tanto existen \(2^n\) subconjuntos diferentes de un conjunto de n elementos.  

Referencias Bibliográficas

• LIPSCHUTZ, S. (1991). Teoría de Conjuntos y Temas Afínes. Serie Schaum. McGraw-Hill. Caracas.
• MONAGAS, O., ORELLANA, M. y RIVAS, A. (1994). Algebra I – Tomo I. Caracas: Universidad Nacional Abierta.
• PREPARATA, F. y YEH, R. (1973). Introduction to Discrete Structures. Reading, Massachussets: Addison-Wesley Publishing Co.

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Un problema de probabilidades

Considere el siguiente problema de probabilidades:

Se tienen 3 bolas verdes y 3 bolas rojas. Cada una de los 6 esferas se parte en dos mitades. Con las 12 mitades así obtenidas se vuelven a formar 6 bolas reagrupando las mitades al azar en parejas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener nuevamente 3 bolas verdes y 3 bolas rojas?

Para poder empezar, necesitamos entender bien el experimento aleatorio. La parte de dividir cada una de las 6 esferas (3 rojas y 3 verdes) en dos mitades es bastante clara. Tendríamos así 12 mitades- 6 mitades rojas y 6 mitades verdes. La siguiente parte referente a "reagrupar las mitades al azar en parejas" podría no estar tan clara, sin embargo. Esta frase engloba el experimento aleatorio en sí. Entender en qué consiste es fundamental para poder calcular la probabilidad requerida.

Imaginemos que tomamos las 12 mitades, las metemos en una urna, revolvemos bien y comenzamos a extraer (sin reposición a la urna) las 12 mitades al azar, una por una. Las 6 primeras mitades las colocamos en una fila una al lado de la otra. Extraemos las otras 6 mitades de la urna y las colocamos en otra fila debajo de las 6 mitades de la fila de arriba. Tendríamos así un arreglo de dos filas y seis columnas, como por ejemplo el que sigue a continuación:

V	V	R	R	V	V
R	R	R	V	R	V

Cada columna en esta tabla indica los colores de las mitades que conforman las 6 pelotas que volvimos a armar. En el caso de ejemplo de arriba, solo hubiésemos obtenido 2 pelotas de un solo color (las mitades del mismo color), las cuales indicamos resaltando las columnas respectivas:

V	V	R	R	V	V
R	R	R	V	R	V

Obtener nuevamente las 3 bolas verdes y las 3 bolas rojas equivale a verificar si 3 de las columnas en esta tabla son verdes y si las otras 3 columnas son rojas. Quizás convendría realizar una simulación para darnos una idea de la frecuencia con la que ocurre esto. En cada ciclo de la simulación, tomamos un vector de 12 elementos, 6 de los cuales son "rojos" y los otros 6 "verdes". Luego permutamos los 12 elementos al azar, lo cual es el equivalente computacional de "revolver las 12 mitades en la urna". Seguidamente, consideramos las 2 mitades de ese vector (una mitad son los primeros 6 elementos y la otra los últimos 6 elementos) para verificar si cada uno de los 6 elementos de los dos vectores son iguales uno a uno. El script en R se muestra a continuación:

#Se tienen:
#3 bolas verdes y 3 bolas rojas.
#Se parte cada esfera en dos mitades.
#Se vuelven a juntar las mitades
#en parejas aleatoriamente.
#¿Cuál es la probabilidad de juntar nuevamente
#3 palos pelotas y 3 pelotas rojas?
M <- c(rep("V",6),rep("R",6))
N <- 1000000  #se repite el experimento un millon de veces
muestra <- replicate(N,{
  revuelto <- sample(M,size=12,replace=FALSE)
  r1 <- revuelto[1:6]
  r2 <- revuelto[7:12]
  if (all(r1==r2)) 1 else 0
  }
)
( mean(muestra) )  #la proporción de veces que ocurre
                   #el evento es una aproximación de su
                   #probabilidad

Este script arroja como resultado la siguiente aproximación de la probabilidad requerida. Claro, como se trata de un experimento aleatorio, la aproximación será distinta cada vez que ejecutemos el script. Sin embargo, con un millón de repeticiones, la variabilidad del resultado es muy poca (consultar sobre la Ley de los Grandes Números).

  [1] 0.021427

Según el resultado de la simulación, la probabilidad de obtener 3 pelotas verdes y 3 pelotas rojas nuevamente es de aproximadamente un 2%. No obstante, "aproximadamente" no es lo mismo que "exacto". Intentaremos seguidamente calcular la probabilidad exacta, pero ya sabemos su valor aproximado.

Primeramente, la cantidad de formas posibles de permutar 12 objetos, 6 de los cuales son de un tipo y 6 de otro, es igual a 12C6 (las combinaciones posibles de 6 objetos escogidos entre 12). Esto es debido a que asignamos cada una de las 6 mitades rojas a cualquiera de las 12 celdas y debemos tomar en cuenta que como las 6 mitades rojas son indistintas entre sí, debemos dividir entre 6! - el número de permutaciones de 6 objetos. La cantidad total de posibles resultados del experimento aleatorio es, pues, igual a 12C6.

Para que formemos nuevamente las 3 pelotas rojas y las 3 pelotas verdes (en lo sucesivo el evento A), es preciso que, considerando la primera fila de 6 mitades, esta contenga exactamente 3 mitades rojas y 3 mitades verdes. Existen 6C3 posibles configuraciones, tomando en cuenta que las 3 mitades de un mismo color son indistintas entre sí. Una vez fijada la configuración de la fila de arriba, la fila de abajo debe tener exactamente la misma configuración que la fila de arriba. Por lo tanto, según la fórmula de la probabilidad de un evento como en cociente entre el número total de casos favorables al evento entre el número total posible de casos equiprobables del experimento aleatorio, tenemos que:

$P(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid \Omega \mid }=\frac{\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right)}=\mathrm{0,02164502}$

Puede corroborar que este resultado concuerda con aquél obtenido por la simulación.

Referencias Bibliográficas

• ARRIOJAS, M. (2004). Teoría de Probabilidades.
• ROMERO, J. L. (2011). Simulación y Modelos.

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Una pregunta de probabilidades

Si responde a esta pregunta de forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de acertar la repuesta correcta?

1. 0%
2. 25%
3. 25%
4. 50%

Su respuesta en los comentarios...

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Consideraciones sobre la visualización de datos - parte 2

Continuamos con la serie de entradas sobre la visualización de datos, esta vez complementando un poco lo dicho sobre las gráficas de torta en la entrada pasada. ¿Cuándo deben o no usarse? ¿Cómo se deben usar?

En el semestre pasado 2012-1, la data del trabajo práctico versaba sobre un estudio de nutrición infantil donde se estudiaban varios factores conjuntamente como el Índice de Masa corporal, el peso, la estatura y la actividad física, entre otros. Para la asignatura de Estadística General (745), se requería, entre otras cosas, elaborar una gráfica de torta para la variable X7 - el índice de actividad física. A continuación muestro una típica gráfica de estas. Nótese que en el ejemplo de abajo, la gráfica de tortas es tridimensional, por lo cuál le hice observaciones al estudiante según las explicaciones en la entrada anterior. Para el trabajo final, los estudiantes re-elaboraron estas gráficas de torta en dos dimensiones, con lo cual dieron cumplimiento a la actividad correspondiente requerida en el enunciado del trabajo. Sin embargo - y con la presión del semestre ya dejada atrás, le invito a echar un segundo vistazo a esta gráfica. Aparte de la tridimensionalidad, ¿nota algún otro problema con esta gráfica?

Es necesario considerar el tipo de variable o la escala de X7. Si observa la leyenda a la derecha, verá que los niveles o valores del índice de actividad física son: sedentario, ligera, moderada, alta y muy alta. En efecto, la variable X7 se refiere a la intensidad o la frecuencia de actividad física de los individuos de la muestra. Podemos establecer comparaciones de orden entre estos niveles de actividad física. Por ejemplo, una persona con actividad moderada tiene menos actividad física que otra persona cuyo nivel de actividad es "alta". En resumen, X7 es una variable de escala ordinal. ¿Qué tiene esto que ver con las gráficas de torta?

En teoría, las gráficas de torta permiten visualizar el valor modal de una muestra. El valor modal es aquel con mayor frecuencia y por lo tanto el sector correspondiente en la gráfica de torta se verá más grande. Sin embargo, la variable X7 es una variable ordinal. Sus niveles tienen una jerarquía, un orden de menor a mayor. Gracias a ese orden jerárquico de sus niveles, la variable X7 tiene mediana, aparte de tener moda. Por cierto, la moda de esta variable es "actividad física alta" y su mediana es "actividad física moderada".

La gráfica de torta de arriba es deficiente. No logra comunicar toda la estructura jerárquica de orden que la variable X7 posee por ser una variable ordinal. En efecto, en una circunferencia no hay ningún punto privilegiado, no hay un cero natural, pues dejaría de serlo al rotar la circunferencia. Si uno recorre la circunferencia en cualquier dirección, regresa al punto de partida y por lo tanto en una circunferencia tampoco hay una dirección que esté asociada con "más de algo" o "menos de algo". Es decir, en una circunferencia no podemos reflejar ninguna jerarquía de orden. Si la gráfica de torta no es el tipo de gráfica más adecuada para resumir visualmente esta variable, ¿cuáles otros tipos de gráfica deberíamos de considerar?

La gráfica de barras es una alternativa natural para visualizar variables de escala ordinal cómo la variable X7. Si en el eje de las abscisas disponemos los niveles de X7 de menor a mayor (en la gráfica de arriba los niveles de actividad tienen una codificación numérica de 1.0 a 1.8) y hacemos corresponder los valores de las frecuencias en el eje de las ordenadas, las alturas de las barras encima de cada nivel de las abscisas nos permite visualizar la forma de la distribución de la variable X7. Aparte de poder visualizar la moda tal como en la gráfica de tortas, una gráfica de barras permite visualizar la asimetría, la dispersión y la forma general de la distribución de frecuencias, lo cual no podíamos hacer con una gráfica de tortas. Ampliando un poco más esta gráfica, podríamos por ejemplo señalar la clase mediana.

Sin embargo, sobre este último punto surge una inquietud respecto a si no existirá otro tipo de gráfica más "informativa" para variables de escala ordinal. Un tipo de gráfica que permita señalar la diferencia entre la moda (o las modas) y la mediana y - ¿porqué no? - también se señalen los cuartiles para visualizar mejor el grado de dispersión. Sería interesante también que con esta gráfica se pudiesen comparar fácilmente diferentes poblaciones o grupos de una variable ordinal, para verificar cambios en la tendencia central de un grupo a otro. Si bien existen las gráficas de cajas comparativas, en las cuales las hendiduras indican posibles diferencias significativas entre las medianas de unos u otros subgrupos, la gráfica de caja (o boxplot) no es a mi criterio la más adecuada cuando las variables ordinales tienen pocos niveles (o categorías ordinales). Además, con las gráficas de cajas no podemos visualizar la moda o la distribución de frecuencias de la variable en las categorías ordinales.

Para poner las cosas en perspectiva, en la discusión que sigue voy a considerar un estudio sobre el rendimiento académico de jóvenes noruegos entre 13 y 15 años de edad y el nivel de ingresos familiar [Ver Hassan(2007)]. En este estudio, se consideraron dos grupos: uno llamado "grupo control", representado por una muestra de estudiantes sin distinción del nivel de ingresos familiar y otro grupo - el "grupo caso" - representado por una muestra de estudiantes provenientes de hogares con un ingreso agregado ubicado en el 60% o menos del ingreso familiar mediano en Noruega. Se consideraron las notas de estos estudiantes para tres áreas claves: Matemáticas, Inglés y Noruego. Como en Noruega las notas son de la escala entre 1 y 6, siendo el "6" la nota más alta, la variable asociada al rendimiento académico en cada área es en efecto una variable ordinal. Las distribuciones de las notas (en porcentajes) correspondientes a los subgrupos "caso" y "control" para las tres áreas de conocimiento respectivas son dadas según la siguiente tabla:

Matemática				Inglés				Noruego
Caso		Control		Caso		Control		Caso		Control
Nota	Frec	Nota	Frec	Nota	Frec	Nota	Frec	Nota	Frec	Nota	Frec
1	1%	1	1%	1	1%	1	0%	1	0%	1	0%
2	16%	2	5%	2	8%	2	5%	2	5%	2	3%
3	30%	3	26%	3	25%	3	21%	3	25%	3	24%
4	31%	4	43%	4	40%	4	43%	4	46%	4	45%
5	19%	5	22%	5	24%	5	27%	5	24%	5	26%
6	3%	6	3%	6	2%	6	4%	6	0%	6	2%

¿Cómo podríamos comparar los subgrupos de "caso" y "control" a través de las tres áreas de conocimiento mediante una gráfica? Si hiciéramos múltiples gráficas de barras, se vería como en la gráfica a la derecha.

¿Sirve éste resumen gráfico a los fines comparativos  de detectar diferencias entre el rendimiento académico de estudiantes de bajos ingresos familiares y la población estudiantil en general? Para las tres áreas académicas, la calificación modal de un grupo y otro es "4", por lo cual no se pueden detectar diferencias entre uno y otro subgrupo si solamente se toma en cuenta la moda.  Más sin embargo, en el caso de la asignatura de matemáticas, se observa cierto desplazamiento hacia las calificaciones más bajas para el subgrupo de estudiantes con menores ingresos familiares.

Cómo los diagramas de barras de arriba no incluyen otros indicadores de tendencia central o de posición, es difícil establecer comparaciones más precisas. Además, un buen resumen gráfico de esta data debería de permitir constatar "desplazamientos" entre las calificaciones de un grupo y de otro.

Con esta idea de visualizar los "desplazamientos de las calificaciones"  me puse a buscar sobre técnicas gráficas alternativas y di con un artículo en el cual el autor elaboraba sobre un tipo de gráficas llamada "gráficas de barras apiladas divergentes".  En este tipo de gráficas, se empatan barras horizontales cuya longitud es proporcional a la frecuencias de los niveles consecutivos  de la variable ordinal para cada subgrupo poblacional, formando una sola barra horizontal para cada subgrupo respectivo con varias barras apiladas de izquierda a derecha.  Estas barras horizontales compuestas de varias barras apiladas se desplazan de modo que el punto cero se ubique en el medio de la clase central de la escala ordinal (para el caso en que el número de clases de la escala sea un número impar) o entre las dos clases del medio si el número de clases es par.  De este modo, cuando colocamos las barras horizontales de cada subgrupo una encima de la otra de tal manera que todos los puntos "cero" estén alineados en una recta vertical, podemos constatar visualmente los desplazamientos entre uno y otro subgrupo.

Adicionalmente, pensé que sería buena idea sombrear las barras apiladas de cada barra horizontal de modo que los tonos más oscuros se correspondiesen a las frecuencias de clase mas altas. Además, si indicamos la posición del 1er, 2ndo y 3er cuartíl en cada barra sería de mucha utilidad para visualizar las medidas de posición y así hacerlas conmensurables con los desplazamientos.  Preparé un pequeño script en R para elaborar esas gráficas, que pueden ver a continuación:

Las gráficas de arriba permiten una mejor comparación del rendimiento académico de los estudiantes de bajos ingresos familiares y aquel de la población estudiantíl en general.  Para el caso de la asignatura de "Noruego" (lengua primaria), no se observan diferencias importantes entre las calificaciones de uno y otro grupo.  Para el caso de "Inglés" (lengua secundaria) se observa un leve desplazamiento hacia las calificaciones más bajas de parte del grupo de estudiantes de bajos ingresos familiares (identificado como "caso").  Para matemáticas, se observa un desplazamiento más acentuado, en donde los estudiantes de bajos ingresos obtuvieron calificaciones más bajas.  Obsérvese que la barra horizontal de este grupo está más desplazada hacia la izquierda.

Coloco el código R abajo en este post para quien esté interesado.  Quizás incorpore este tipo de gráficas en mi librería estUNA, pero todavía lo considero en etapa experimental.

#la data es tomada del estudio en "3827_1.pdf"
matematicas <- data.frame (caso    = c(0.01,0.16,0.30,0.31,0.19,0.03),
                           control = c(0.01,0.05,0.26,0.43,0.22,0.03) )
ingles <- data.frame(caso    = c(0.01,0.08,0.25,0.40,0.24,0.02),
                     control = c(0.00,0.05,0.21,0.43,0.27,0.04) )
noruego <- data.frame(caso    = c(0.00,0.05,0.25,0.46,0.24,0.00),
                      control = c(0.00,0.03,0.24,0.45,0.26,0.02) )

graficar_barras_divergentes <- function(mdata,nombre=deparse(substitute(mdata))) {
  #esta función supone que mdata es un marco de datos
  #en donde cada columna se asocia a los porcentajes de los niveles
  #de una escala ordinal en orden ascendente (ie. el primer elemento del
  #vector se corresponde a la frecuencia del menor nivel en la escala).
  mdata_ac <- rbind(mdata,rep(0,ncol(mdata)))
  filas_par <- (nrow(mdata) %% 2 == 0)

  for (i in 1:ncol(mdata)) {
    x <- cumsum(mdata[[i]])
    if (filas_par)
      mid <- x[nrow(mdata) %/% 2]
    else
      mid <- x[nrow(mdata) %/% 2] + mdata[[i]][(nrow(mdata) %/% 2) + 1]/2
    mdata_ac[[i]] <- c(-mid,x -mid)
  }
  #crea un nuevo cuadro del tamaño adecuado
  frame()
  plot.window(xlim=c(min(mdata_ac)-0.2,max(mdata_ac)),ylim=c(0,0.5*ncol(mdata_ac)))
  #dibuja una línea vertical punteada de "centralidad"
  lines(c(0,0),c(0,0.5*ncol(mdata_ac)),lty="dotted")
  for (i in 1:ncol(mdata_ac) ) {
    #calcula la posición de las etiquetas para las frecuecias/categorias
    lbx <- (tail(mdata_ac[[i]],-1)+head(mdata_ac[[i]],-1))/2
    #dibuja los rectángulos que componen las frecuencias de cada clase
    for (j in 1:(nrow(mdata_ac)-1) )
      rect(mdata_ac[j,i], 0.21 + (i-1)*0.5 ,mdata_ac[j+1,i], 0.29 + (i-1)*0.5 ,
               col=rgb(95/256,158/256,160/256,alpha=mdata[j,i]) , lwd=0.25 )
    #escribe las frecuencias
      text(x=lbx,y=0.18+(i-1)*0.5,cex=0.4,labels=round(mdata[[i]]*100,digits=2) )
    #escribe las etiquetas de categorías
      text(x=lbx, y=0.32+(i-1)*0.5,cex=0.4,labels=rownames(mdata) )
    #indica los cuartiles
    #indica cuartiles
      points(seq(from=0.25,to=0.75,by=0.25)+mdata_ac[1,i],rep(0.25+(i-1)*0.5,3),col="tomato",pch=10)
  }
  #escribe las etiquetas de cada serie de datos
  text(x=min(mdata_ac)-0.1,y=seq(from=0.25,to=0.25+0.5*ncol(mdata),by=0.5),cex=0.8,labels=colnames(mdata) )
  #El titulo
  title(main=paste("Gráfica de barras divergentes para\n",nombre) )
}

ppi <- 300
png("gbd%2d.png",width=ppi*4,height=ppi*4,res=ppi)
graficar_barras_divergentes(matematicas)
graficar_barras_divergentes(ingles)
graficar_barras_divergentes(noruego)
graphics.off()
png("graficos_de_barras.png",width=ppi*4,height=ppi*6,res=ppi)
par(mfrow=c(3,2))
barplot(matematicas[[1]],names.arg=1:6,main="Matematicas",sub="(grupo caso)")
barplot(matematicas[[2]],names.arg=1:6,main="Matematicas",sub="(grupo control)")
barplot(ingles[[1]],names.arg=1:6,main="Ingles",sub="(grupo caso)")
barplot(ingles[[2]],names.arg=1:6,main="Ingles",sub="(grupo control)")
barplot(noruego[[1]],names.arg=1:6,main="Noruego",sub="(grupo caso)")
barplot(noruego[[2]],names.arg=1:6,main="Noruego",sub="(grupo control)")
graphics.off()

Bibliografía

• HASSAN, J. (2007). Parents’ socioeconomic status and children’s academic performance. Norwegian Social Research. NOVA Notat 7/2009.
• HEIBERGER, R. y ROBBINS, N. (2011). Plotting Likert and Other Rating Scales Section on Survey Research Methods – JSM 2011.

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2013 - Año Internacional de la Estadística

¡Ante todo les deseo un prospero y venturoso año 2013!

¿Sabían que el año 2013 es el Año Internacional de la Estadística? En este lustro que comienza ahora, el mundo celebrará y reconocerá las contribuciones de la Estadística. Se promocionará la importancia de la Estadística a una amplia gama de destinatarios: comunidad científica, usuarios de datos del sector público y privado, medios de comunicación, legisladores, trabajadores, estudiantes y público en general. Abajo incluyo una traducción de un artículo sobre ello, publicado en la página http://www.statistics2013.org, que les invito consultar para mayor información. Por cierto, como nota curiosa, no veo que el Instituto Nacional de la Estadística Venezolano se haya sumado a la celebración. A continuación la traducción del artículo:

Es un gran placer personal y honor para mi escribir la primera entrada del blog de Statistics2013. Para ello, he optado escribir en torno a dos preguntas principales: ¿Porqué la estadística? ¿Porqué la celebración mundial de la estadística justo ahora?

La primera pregunta - ¿porqué estadística? es fácil de responder. Todo el mundo está finalmente entendiendo que necesitan la estadística en su vida cotidiana y/o en sus trabajos. Este es el resultado del trabajo arduo de muchos estadísticos promocionando la profesión y también porque ahora el costo de recolectar y almacenan data es ínfimo y cada vez más, se hace imperativo convertir este recurso hasta ahora no explotado en información valiosa. ¿Y quien puede hacerlo? ¡Los estadísticos!

Como Hal Varian, el economista principal de Google, lo ha afirmado: "Si la data es muy barata y fácil de conseguir y tienes a la mano la gente con la capacidad analítica de procesar esa data, ie. los estadísticos, entonces estás en muy buena posición." Otras personas han confirmado la necesidad de estos profesionales. En un articulo por Annamaria Andriotis publicado en SmartMoney (The Wall Street Journal), la Estadística figura como uno de las cinco carreras universitarias más buscadas para conseguir un empleo en los Estados Unidos.  En el New York Times, Steve Lohr escribió un articulo titulado "Para el recién graduado de hoy, solo una palabra: Estadísticas".  En Brazil, uno de los actores de mayor crecimiento en la economía mundial, Camila Lam escribión un artículo para la revista Exame en el cual menciona la profesión de Estadístico como una de las ocho profesiones subestimadas en Brazil (“8 profissões subestimadas no Brasil”). Y la lista continua, en todas partes del mundo.

Un editorial en Science por Marie Davidian y Thomas A. Louis ofrece una respuesta detallada a la pregunta: ¿Porqué estadisticas? También predicen que este campo será más crítico en la medida en que en el ámbito académico, de negocios y gubernamental, las decisiones se toman cada vez más en base al gran caudal de data ahora disponible y que la demanda de personal con conocimientos de estadística crecerá enormemente.

¿Porqué esta celebración mundial ahora? Prefiero preguntar: ¿Y porqué solo ahora? Mi respuesta a esta pregunta es similar a la respuesta a la anterior: es el resultado del arduo trabajo de muchos estadísticos promocionando la profesión. El Año Internacional de la Estadística definitivamente llevará esta disciplina y sus profesionales en la palestra.

Felicito y agradezco a todos los individuos y asociaciones involucradas de una forma u otra en promocionar y organizar esta celebración mundial. De seguro será un éxito. Espero que aprovechen esta oportunidad de concientizar a todos en su país y dentro de sus círculos profesionales, académicos y científicos sobre la importancia de la Estadística.

La época de los chistes malos sobre la estadística quedó atrás. Ahora estamos en la era de las grandes decisiones basadas en la Estadística.

Cierro esta entrada en la misma forma en que Ron Wasserstein, director ejecutivo de la  American Statistical Association, abrió su discurso en una conferencia en Lisboa el julio pasado: ¡Es un momento muy propicio para ser un estadístico! ¡Sí lo es!

Paulo Canas Rodrigues
ISLA Campus de Lisboa

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Consideraciones sobre la visualización de datos- parte 1

Este semestre, he visto algunos trabajos de Estadística General (745) en los cuales se incluyen las famosas gráficas de torta tridimensionales. Aunque en el sitio anterior de unamatematicaseltigre había escrito sobre esto, vuelvo a publicar el post original en esta página agregándole otras aclaratorias. Esta será la primera de una serie de entradas sobre las técnicas de visualización alternativas o más adecuadas para la data cualitativa, que es la materia prima de la denominada "investigación cualitativa" de las humanidades y las ciencias sociales. Estudiantes de educación, estudiantes de administración y contaduría, este tema es de interés para ustedes. Trataré de mantener el contenido matemático al mínimo necesario para hacer su lectura menos árida. Pero antes, permítanme expresarles mi opinión sobre las gráficas de torta tridimensionales. Iré directamente al grano: las gráficas de torta tridimensionales son malas. No sirven.

¿Porqué no sirven las gráficas de torta tridimensionales? ¿No indican también el 100% de los datos?

El propósito de las gráficas de torta es comunicar visualmente las proporciones que se corresponden a los tamaños de varios subgrupos dentro de una población. Para poder elaborar una gráfica de torta, se supone que:

• Tenemos una variable con una cantidad determinada de valores o atributos que esta puede asumir en la población bajo estudio.
• Cada individuo de la población se asocia a exactamente uno entre los atributos de la variable. Un individuo no puede asociarse a dos o más de estos atributos. Por ejemplo, si la variable es el género, cada uno de los individuos de la población bajo estudio, o es de sexo masculino o de sexo femenino, pero no hay individuos de ambos sexos o ninguno.
• Podemos clasificar a la totalidad de la población en grupos de individuos con el mismo atributo de la variable y calcular el porcentaje de la cantidad total de individuos correspondientes a cada uno de esos grupos. Aunque parezca obvio, hay que enfatizar que las gráficas de torta siempre se refieren a la distribución del 100% de la población en varios subgrupos según los atributos de una variable.

Con respecto a la última observación, quiero traer a colación una gráfica de torta que apareció en un noticiero norteamericano. El propósito de esta gráfica era mostrar cuantos encuestados apoyaban a determinado candidato para las elecciones primarias del partido Republicano en Estados Unidos:

La característica más deplorable de esta gráfica es que los porcentajes suman a 193%. Obviamente, la encuesta fue hecha de forma que los encuestados podían responder que apoyaban a más de un candidato (algunos quizás a los tres candidatos, inclusive). Sin embargo, el uso de una gráfica de torta para visualizar los resultados de tal encuesta es sencillamente equivocado. Por definición, una gráfica de torta muestra los porcentajes de las categorías en base al 100% de la data porque se supone que las categorías son mutuamente excluyentes y cada uno de los individuos de la población se asocia a una sola categoría. Esto excluiría la posibilidad de que algún encuestado responda que apoya a Pallin y a Romney, por ejemplo. Consecuentemente, el uso de una gráfica de torta para esta encuesta queda descartado y deja muchas incógnitas sin responder: ¿cuantos encuestados apoyan únicamente a uno de los tres candidatos del partido? ¿cuantos encuestados no apoyan a ninguno de los tres candidatos?

No se me ocurre de buenas a primeras una buena alternativa a la gráfica de torta para la visualización de los resultados de esta encuesta. Todo depende de la "idea" que realmente se quiere comunicar. Quizás los comunicadores sociales tenían simpatías hacia Pallin y consecuentemente mostraron una gráfica según la cual la "mayoría" apoyaba a esta candidata, aunque hay otros elementos en la gráfica que refutan esa idea (volveré sobre ese tema más adelante en esta entrada). Es posible que si mostrasen los resultados correspondientes a cuantos de entre los encuestados que apoyaban a un único candidato, apoyaban a Pallin, Romney o Huckabee, la gráfica hubiese sido muy distinta, pero por lo menos hubiese sido una gráfica de torta legítima (porque las categorías en este caso sí son mutuamente excluyentes).

Bien, aún no he abordado el tema inicial de esta entrada: ¿porqué no sirven las gráficas de torta 3d? La gráfica de torta permite visualizar los porcentajes de cada categoría mediante la comparación visual del tamaño respectivo de los pedazos de la torta. Es decir, la lectura de una gráfica de tortas consiste en comparar el área o la magnitud de distintas superficies y en esto el ojo humano no es particularmente eficaz. Considere por ejemplo esta gráfica:

Viendo la gráfica de arriba, intente responder las siguientes interrogantes: ¿Cual de las dos categorías, azul (2) o roja (1), tiene mayor porcentaje? ¿Podría usted ordenar la categoría negra (5), verde (3) y amarilla (4) de mayor a menor porcentaje? La respuesta a estas preguntas se hace más evidente al observar el diagrama de barras equivalente:

Insisto- el diagrama de barras de arriba es equivalente a la gráfica de torta anterior; ambos se elaboraron con la misma data. Sin embargo, el diagrama de barras visualiza mejor las diferencias entre las proporciones de cada categoría. ¿Porqué?

Es más fácil comparar longitudes que superficies. Mientras mayor dimensionalidad, más difícil se hace establecer las comparaciones. Por esta razón, muchos especialistas desaconsejan el uso de gráficas de torta. Algunos inclusive las detestan:

Las tablas son preferibles a las gráficas para conjuntos pequeños de data. Una tabla es casi siempre mejor que una estúpida gráfica de torta; lo único peor que una gráfica de torta es varias de ellas, pues entonces se requiere que el lector compare magnitudes ubicadas desordenadamente tanto dentro de las tortas como entre las tortas. Dada su baja densidad de data y la ineficacia en ordenar magnitudes a lo largo de una dimensión visual, las gráficas de torta nunca deberían ser empleadas."

The Visualization of Quantitative Information, p. 178
Edward Tufte

No queriendo asumir una posición tan radical en torno a las gráficas de torta y admitiendo que aún en ciertos casos pueden ser de alguna utilidad, mi idea es advertir sobre algunos problemas en el uso de este tipo de gráficas. Como regla general, la comparación de magnitudes se dificulta a medida que las visualizamos en más dimensiones. Con las gráficas de torta tridimensionales yo trazo la línea- nunca deberían de utilizarse. Considere por ejemplo, este par de gráficas tridimensionales referidas a las elecciones parlamentarias del 2010 en Venezuela, en la cual se visualizan los porcentajes de votos atribuidos al oficialismo y a la oposición.

Ambas gráficas visualizan los mismos resultados: el 52% de los votos fueron para la oposición y el 48% de los votos para el oficialismo. Sin embargo, como las graficas se presentan en perspectiva (tridimensional), la percepción que inducen sobre el lector es muy distinta- en la gráfica de la izquierda, el oficialismo parece haberse hecho con la mayoría de los votos mientras que en la gráfica de la derecha, la oposición luce con una mayoría abrumadora. Al examinar ambas gráficas a la luz de los porcentajes en base a los cuales fueron elaboradas (52 y 48 porciento), se hace evidente que ninguna presenta la información de manera objetiva, pese a que (insisto sobre ello) fueron elaboradas en base a los mismos porcentajes.

Cuando representamos objetos tridimensionales sobre una superficie bidimensional, los objetos que están ubicados hacia adelante lucen mayores que los que están ubicados atrás, por razones de perspectiva. Las gráficas de torta tridimensionales siempre serán engañosas porque las categorías presentadas al frente lucirán un poco más grandes que las categoráas al fondo de la gráfica. Aunque se coloquen los porcentajes sobre cada sector, podemos engañar al lector según la o las categorías que presentamos en primer plano en una gráfica de torta 3D. Con esto volvemos a la gráfica de torta tridimensional de Foxnews presentada al principio de esta entrada. Habíamos especulado sobre la posible intención del noticiero de promover a la candidata Pallin como mayoritaria, según la definición de las categorías utilizada para construir la gráfica (que no era apropiada puesto que no sumaban a un 100%). Sin embargo, en vista de que los otros dos candidatos se presentan en colores similares (azul y verde) hacia el primer plano de una gráfica 3d ligeramente inclinada, quizás se quería lo contrario: promover a los otros dos candidatos distintos a Pallin. Personalmente, no creo que quien elaboró la gráfica tenía con alguna intención o agenda oculta- simplemente ignoró los principios básicos de la estadística descriptiva y el sentido común.

Referencias bibliográficas

1. Kosara, R. (12/01/2012). Understanding Pie Charts. Publicado en: http://eagereyes.org/techniques/pie-charts
2. Tufte, E. (2001). The Visualization of Quantitative Information. Second Edition. Graphic Press.
3. Yau, N. (26/11/2009). Fox News Makes the Best Pie Chart. Ever. Publicado en: http://flowingdata.com/2009/11/26/fox-news-makes-the-best-pie-chart-ever/

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El Teorema del Límite Central - U.N.A. dramatización

Profesor - El Teorema del Límite Central establece que la suma de toda secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza finitas es asintóticamente normal.

Los estudiantes se miran los unos a otros con cara de no entender nada. Típico en una clase de probabilidad y estadística.

Profesor - ¿Todos entendieron? ¿Alguien tiene preguntas?

Se escucha un cri-cri como el de una serenata nocturna de grillos. Aparte de eso, un silencio ensordecedor. Después de cinco minutos de incómodo silencio, un estudiante levanta la mano...

Profesor - ¿Cual es tu pregunta, Miguel?

Miguel - Profesor, ¿puede traducir eso al castellano?

El profesor respira profundo...

Profesor - Ok. Imagínense que tenemos una secuencia de variables aleatorias, todas con la misma distribución e independientes entre sí. Por ejemplo, una muestra de tamaño n podría constituir tal secuencia: todos los elementos de la muestra, los X_i, tienen la misma distribución de probabilidad porque son muestras de la misma población. Además, si la muestra es aleatoria, se garantiza que todas las variables aleatorias de la secuencia son estocásticamente independientes...

La clase - ¿esto- qué?

Profesor - estocásticamente independientes, es decir - probabilísticamente independientes. Esto se garantiza porque en una muestra aleatoria, ninguna observación condiciona las otras. En otras palabras, las variables aleatorias que constituyen la muestra son estocásticamente independientes. ¿Me siguen?

La clase asiente con un movimiento de cabeza afirmativo.
 

Profesor - Seguimos. Con una secuencia de variables aleatorias como la que he descrito, podemos definir una nueva variable aleatoria como la suma de todas ellas. Por ejemplo, la media muestral

\[\overline{X}=\sum_{i=1}^n X_i\]

es esencialmente una suma de las variables aleatorias \(X_i\) que constituyen la muestra. Pues bien, el Teorema del Límite Central afirma que \(\overline{X}\) es una variable aleatoria distribuida normalmente, siempre y cuando \(n\)- el tamaño de la muestra - sea lo "suficientemente" grande. Mientras más grande sea \(n\), más se parece la distribución de \(\overline{X}\) a una distribución normal. Sin importar cuál sea la distribución de probabilidad de la población de origen, es decir, de cada uno de los \(X_i\).

El profesor hace una pausa para dejar que la idea de lo que acaba de afirmar decante lentamente en la cabeza de los estudiantes. Algunos de entre ellos asumen una expresión reflexiva, como sumidos en sus propios pensamientos...

Profesor - Vamos a explicar mediante un ejemplo. Supongamos que extraemos una muestra de una población exponencialmente distribuida, cuya curva de densidad, por cierto, es como esta:

Pueden observar que la curva de densidad exponencial no se parece en nada a la curva de densidad normal, que tiene una forma acampanada y es simétrica en torno a la "cima" de la campana.

A nadie se le ocurriría, de buenas a primeras, que si yo tomo una muestra aleatoria de 100 observaciones (X_i) de una población exponencialmente distribuida y las promedio, los valores de estos promedios, conforme varía la muestra aleatoria, se distribuyen normalmente. Y sin embargo, esto es justamente lo que afirma el Teorema del Límite Central.

Algunos estudiantes parecen sorprendidos.
 

Profesor - Se pueden imaginar lo útil que es este teorema. Por ejemplo, si quiero hacer inferencia sobre la media de una población, utilizaría la media muestral para estimar dicho parámetro. Me sería de mucha utilidad saber que la media muestral, si la muestra es de tamaño suficientemente grande, es normalmente distribuida. Este hecho es independiente del tipo de distribución de la población de origen.

El profesor mira alrededor y se complace al ver que la clase ha comenzado a comprender su "traducción" al castellano.

Profesor - Por supuesto, este teorema, como todo teorema, tiene su demostración matemática. Pero no se preocupen, no los voy a hacer padecer con una demostración matemática en clase. Vamos en cambio a ilustrar cómo funciona este teorema mediante una simulación por computadora.

En una simulación, tomamos una muestra de \(n\) números aleatorios y los promediamos. Repetimos este proceso muchísimas veces (quizás cien mil veces), registrando el promedio observado cada vez. Como resultado, tendríamos a su vez una muestra muy grande de promedios muestrales, lo cual nos permitiría ver, mediante un histograma por ejemplo, cuál es la distribución de ese promedio. Según el Teorema del Límite Central, la distribución del promedio debería ser normal si \(n<\) es lo suficientemente grande.

En la siguiente animación, podrán ver la distribución del promedio muestral a medida que el tamaño de la muestra varía de \(n=1\) hasta \(n=100\). Para \(n=1\), el histograma del promedio es como el de una distribución exponencial y no se parece en nada a la forma acampanada de la normal. Sin embargo, a medida que \(n\) aumenta, la distribución del promedio se va haciendo rápidamente más "normal".

Profesor - La simulación, más precisamente, el archivo .GIF animado que vieron, fue hecha en lenguaje R mediante el siguiente script. A los que les dé curiosidad esto, pueden tomar este script y correrlo en su computadora. Pueden inclusive considerar otras distribuciones en vez de la exponencial. El resultado siempre será el mismo- el promedio muestral se distribuye normalmente para valores de n lo suficientemente grandes. Para efectos prácticos, pueden considerar el promedio muestral como normalmente distribuido a partir de n=30.

#abre el dispositivo grafico para crear archivos PNG
png("cl%03d.png")
#El tamaño de la muestra en cada iteración de la
#simulación es 100000
N <- 100000
#define el tamaño de la muestra para el cálculo de la media
#muestral
secuencia <- c(1,(1:20)*5)
for (i in secuencia) {
  #genera N muestras de la media muestral por simulación,
  #todas provenientes de una población exponencial
  x <- replicate(N,mean(rexp(i,rate=0.5)))
  #grafica la curva de densidad normal
  w <- 2/sqrt(i)*3
  curve(dnorm(x,mean=2,sd=2/sqrt(i)),from=2-w, to=2+w,
      col="slateblue", ylab="f(x)")
  title(main=list(paste("n=",i),col="darkgreen",cex=4))
  legend(x=2+w*0.3,y=dnorm(2,mean=2,sd=2/sqrt(i))*1.05,
      legend=c("densidad normal","núcleo de densidad"),
      fill=c("slateblue","darkred"),cex=1.05)
  #grafica la curva del nucleo de densidad
  nd <- density(x)
  lines(nd$x,nd$y,col="darkred")
  #grafica el histograma
  hist(x,freq=FALSE,add=TRUE)
}
graphics.off()
#listo.
#Ahora convierte los archivos .PNG en un .GIF animado.
#(Nota: requiere los programas de ImageMagick)
system("convert -delay 30 *.png cl.gif")

Algunos estudiantes prenden sus laptops y comienzan a copiar el script en la pizarra para probar la simulación ellos mismos.

Profesor - Antes de que se entusiasmen demasiado corriendo este script de simulación, quisiera hacerles un comentario final como nota curiosa. He dicho varias veces que el promedio muestral, o más generalmente, la suma de una secuencia de variables aleatorias, es normalmente distribuida a medida que n se hace mayor, sin importar como está distribuida la población de origen. Esto no es del todo cierto, pero no se los quise decir antes para no confundirlos. Por ejemplo, consideren esta gráfica de una función de densidad:

Profesor - Se parece a la gráfica de la función de densidad normal, ¿no? Pues esta gráfica, de apariencia inocente y acampanada, se corresponde a la función de densidad de una distribución conocida como la distribución de Cauchy. Para esta distribución diabólica, el Teorema del Límite Central falla. ¿Saben porqué?

El profesor hace una pausa, para crear un efecto dramático de suspenso en clase.

Profesor - La distribución de Cauchy no tiene esperanza finita ni varianza finita. Ambas, esperanza y varianza, son infinitas. Al principio de clase, cuando enuncie el Teorema del Límite Central, dije que la distribución de la suma de una secuencia de variables aleatorias independientes y equidistribuidas era asintóticamente normal si la población de origen era de esperanza y varianza finitas. Con la distribución de Cauchy, ese no es el caso. La moraleja es que siempre deben leer la letra pequeña de los teoremas con cuidado y la otra moraleja es que no todo lo que es acampanado es normal.

Fin de la lección. Plaudit amici, comedia finit est.

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