Resolución de problemas matemáticos (o ¿qué busco yo como asesor en una respuesta?)

En esta entrada trataré sobre un error muy común que surge en las respuestas de los exámenes semestre tras semestre. Este error aparece en varias materias que asesoro , bien sea Matemática I, II o III o las asignaturas de estadísticas y probabilidades, aunque los objetivos sobre inferencia estadística en este último grupo de asignaturas merece una ampliación aparte que daré en otro post. Directo al grano- el error se trata de la omisión del estudiante en preguntarse si efectivamente ha respondido la pregunta en el enunciado antes de dar su respuesta como definitiva. Este es un error que puede costarle el objetivo, como explicaré seguidamente.

Permítanme ilustrar mediante un ejemplo reciente, extraído del enunciado del objetivo 1 para la primera parcial de Matemática I en el semestre 2016-1:

Carlos y Javier son dos hermanos. Hace 10 años, la edad de Carlos era cuatro veces mayor que la de Javier pero hoy sólo es el doble. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos hermanos?

Una posible respuesta:

\[\begin{align*} x-10 & = 4(y-10)\\ x & = 2y \qquad \rightarrow\\ 2y-10 & = 4y-40 \qquad \rightarrow\\ 30 & =2y \qquad \rightarrow \boxed{y=15} \quad \boxed{x=30} \\ \end{align*} \]

... Lamento informarles que por lo menos yo como asesor no colocaría una respuesta así como objetivo logrado. Casi escucho murmureos (si eso fuese posible por Internet) de "caprichos del profesor", que "por pequeños errores te quita el objetivo", que "con asesores así nunca nos graduaremos", "¿qué de malo tiene la respuesta? las edades de los hermanos son 15 y 30.", "el problema está bien resuelto y así aparece en el modelo de respuesta de Caracas, ¿porqué me quitaron el objetivo?", etc. etc. ¿Porqué entonces no colocaría una respuesta así como objetivo logrado? ¿Cuál es el error?

Volvamos a la pregunta: ¿cuáles son las edades actuales de ambos hermanos? Ahora vuelvan a revisar la respuesta anterior y pregúntense: ¿Esa respuesta responde a la pregunta? ¿Ven en alguna parte de la respuesta algo que indique cuál es la edad de Javier y de Carlos? Ciertamente, hay unas x's y unas y's encerradas al final en cajitas y todo, pero no hay nada indicando qué es lo que representan esas variables. ¿Son las edades de Javier y Carlos hace 10 años o ahora? ¿Cual de esos valores es la edad de Javier? ¿Cuál es la edad de Carlos? Ante la negativa en responder estas preguntas, me concederán que en la respuesta anterior, no se ha respondido la pregunta y por lo tanto, a mi juicio no demuestra el logro del objetivo.

Veamos las cosas desde una perspectiva más amplia y menos academicista. ¿Para qué sirven las matemáticas? ¿En qué me va a servir saber resolver sistemas de ecuaciones lineales en mi vida profesional? ¿Cuando utilizaré inecuaciones con valores absolutos en mi vida cotidiana? Todos esos planteamientos pueden tener algo de validez y ciertamente, no todo lo que uno aprende en la Universidad es útil en la profesión y mucho menos, en la vida cotidiana. De hecho, muy pocas cosas que uno ve en las carreras, incluyendo las materias directamente relacionadas con las mismas, son verdaderamente útiles o utilizables constantemente. Pero de todas las materias, las de contenido matemático son las más importantes. Son las que verdaderamente enseñan al estudiante a pensar.

Verán, uno no va por la vida topándose con problemas matemáticos del tipo que aparecen el los exámenes o en los problemas de libros de texto. Quizás es por esta razón que muchos piensan que las matemáticas son algo inútil, un simple obstáculo en su carrera por el título universitario. Sería absurdo si les dijera que es importante para su formación profesional resolver problemas que involucren las edades de dos hermanos ahora y hace 10 años y sin embargo, esa parece ser la impresión que muchos se están llevando de todo esto.

A mi tampoco me interesa en lo absoluto las edades de Carlos y Javier, pero sí me interesa que Uds. aprendan a utilizar herramientas matemáticas para resolver problemas. El problema de las edades de Carlos y Javier es solo un pretexto para adquirir estas destrezas. Podrían pensar que ninguno de los problemas importantes en la vida son problemas matemáticos. Se equivocan. La matemática, junto con el lenguaje, son las herramientas o destrezas básicas que nos permiten pensar. Es más, creo que el desarrollo de las matemáticas antecede al desarrollo del lenguaje porque antes de inventar una palabra para designar "caballo" por ejemplo, se ha debido de haber pensado en agrupar elementos particulares o especímenes de cuadrúpedos en una misma clase o conjunto y la teoría de conjuntos es uno de los pilares fundamentales de las matemáticas. ¿Acaso uds. utilizan argumentos o razonan sobre algo? Están utilizando la lógica, la cual es una de las ramas de la matemática (conocida como cálculo proposicional). La matemática no es sólo números - es más, cuando uno se adentra en el estudio de la matemática, se hace menos frecuente toparse con números.

Para que la matemática como herramienta sea verdaderamente útil en el mundo "real" (y si no lo es no serviría de nada, pregúntenle a los de Google), se debe adquirir destrezas en traducir los elementos del fenómeno real al lenguaje matemático, operar con símbolos matemáticos (lo cual es algo mecánico conocido como calcular) e interpretar los resultados a la luz del problema real. Es este último punto la razón por la cuál insisto en que todo problema desarrollado matemáticamente siempre se remita al planteamiento original, o problema real. Podrían verlo como una interpretación si se quiere. Si ustedes no son capaces de interpretar sus cálculos matemáticos, serán incapaces de resolver problemas. La moraleja: al terminar de resolver un problema, pregúntense si realmente están respondiendo la pregunta del enunciado.

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