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Lenguaje RProfesor encontré un ejercicio que dice lo siguiente:
Se disponen de 5 bolas rojas y 5 bolas negras en 8 cajas numeradas. ¿Cuantas maneras hay de hacerlo?
Mi pregunta es debe desarrollar tomando en cuenta que todas las cajas deben estar llenas? ¿O se puede trabajar por casos?
Mi respuesta:
Vamos a aclarar el problema un poco. Se tienen 5 pelotas negras y 5
pelotas rojas que se van a colocar en 8 cajas numeradas y hay que
calcular de cuantas formas de pueden colocar las 10 pelotas (de 2
colores distintos) en las 8 cajas numeradas. Las pelotas negras/rojas
son indistintas entre sí mientras que las cajas si son distintas entre
sí porque están numeradas. La otra suposición importante es que
aparentemente no hay restricciones con respecto a la capacidad de cada
caja- por ejemplo, ¡una sola caja pudiese contener las 10 pelotas!
Creo que está claro que primero debemos de calcular de cuantas maneras se puede ubicar 5 pelotas de un color e indistintas entre sí en 8 cajas. Si esta cantidad es x, el número total de formas de distribuir las 10 pelotas (5 pelotas rojas y 5 pelotas negras) en 8 cajas numeradas sería x^2, según el principio de multiplicación.
Primeramente, podríamos distribuir las 5 pelotas en una sola caja y dejar las demás cajas vacías. ¿De cuantas maneras podríamos hacer esto? Pensemos ... Como tenemos 8 opciones, hay 8 formas de colocar un grupo de 5 pelotas en 8 cajas.
Creo que está claro que primero debemos de calcular de cuantas maneras se puede ubicar 5 pelotas de un color e indistintas entre sí en 8 cajas. Si esta cantidad es x, el número total de formas de distribuir las 10 pelotas (5 pelotas rojas y 5 pelotas negras) en 8 cajas numeradas sería x^2, según el principio de multiplicación.
Primeramente, podríamos distribuir las 5 pelotas en una sola caja y dejar las demás cajas vacías. ¿De cuantas maneras podríamos hacer esto? Pensemos ... Como tenemos 8 opciones, hay 8 formas de colocar un grupo de 5 pelotas en 8 cajas.
Seguidamente, podríamos tener un grupo de 4 pelotas y otro grupo de 1
pelota. Primero debemos de ubicar las 4 pelotas en una caja (8
opciones). Luego tenemos 7 cajas vacías para ubicar la quinta pelota (7
opciones). Por lo tanto hay 8x7=56 maneras de ubicar dos grupos de
pelotas (de 4 y 1 pelota) en 8 cajas.
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Pero también podríamos tener un grupo de 3 pelotas y otro grupo de 2 pelotas, con lo cual tendríamos también 8x7=56 maneras de distribuir esos dos grupos en 8 cajas numeradas. En total, hay 56+56=112 maneras de distribuir dos grupos de
pelotas (de distintos tamaños) en 8 cajas numeradas. Nótese que en
ambos casos, el número total de pelotas es 5 hay dos formas de separar
esas 5 pelotas en 2 grupos de modo que las cantidades de pelotas en cada
grupo sumen a 5.
¿Y si tuviésemos 3 grupos de pelotas? Hay dos formas de dividir 5
pelotas en 3 grupos: 2+2+1=5, 3+1+1=5. En cada caso, tenemos que ubicar
el primer grupo de pelotas en una de las 8 cajas, luego el segundo
grupo de pelotas en una de las 7 cajas remanentes y finalmente el tercer
grupo de pelotas se puede ubicar en alguna de las 6 cajas que quedan.
Por lo tanto, hay 3x8x7x6=1008 formas de distribuir 3 grupos de pelotas
en 8 cajas numeradas. ¡Un momento! ¿Acaso poner un grupo de 2 pelotas
en la caja N° 5 y otro grupo de 2 pelotas en la caja N° 4 no es lo mismo
que poner un grupo de 2 pelotas en la caja N° 4 y el otro grupo de 2
pelotas en la caja N° 5? Tanto en el caso 2+2+1 como en el caso 3+1+1,
hay dos grupos de igual tamaño. Por lo tanto, hay que dividir 1008 entre
2 (por que hay 2!=2 maneras de permutar 2 objetos) y en consecuencia,
hay 504 formas de ubicar 3 grupos de pelotas en cajas numeradas.
En el caso de dividir las 5 pelotas en 4 grupos, tendríamos 1 sola manera de hacerlo: 2+1+1+1=5. En este caso, ubicamos el primer grupo de 2 pelotas en cualquiera de las 8 cajas, el segundo grupo de una pelota en una de las 7 cajas, etc. En total, son 8x7x6x5=1680 las formas de ubicar estos 4 grupos en 8 cajas pero debemos tomar en cuenta que hay 3 grupos de igual tamaño que se pueden permutar de 3!=6 maneras y por lo tanto, hay que dividir 1680 entre 6: 280.
Por último, también hay 1 sola manera de dividir las 5 pelotas en 5 grupos: 1+1+1+1+1=5. Hay 8!/(3!x5!)=56 formas de ubicar 5 pelotas en 8 cajas de modo que a lo sumo haya una sola pelota en cada caja.
En total, hay 8+112+504+280+56=960 maneras de distribuir 5 pelotas de un color en 8 cajas numeradas. Por lo tanto, x=960 y la respuesta definitiva al problema es x^2=921600.
En el caso de dividir las 5 pelotas en 4 grupos, tendríamos 1 sola manera de hacerlo: 2+1+1+1=5. En este caso, ubicamos el primer grupo de 2 pelotas en cualquiera de las 8 cajas, el segundo grupo de una pelota en una de las 7 cajas, etc. En total, son 8x7x6x5=1680 las formas de ubicar estos 4 grupos en 8 cajas pero debemos tomar en cuenta que hay 3 grupos de igual tamaño que se pueden permutar de 3!=6 maneras y por lo tanto, hay que dividir 1680 entre 6: 280.
Por último, también hay 1 sola manera de dividir las 5 pelotas en 5 grupos: 1+1+1+1+1=5. Hay 8!/(3!x5!)=56 formas de ubicar 5 pelotas en 8 cajas de modo que a lo sumo haya una sola pelota en cada caja.
En total, hay 8+112+504+280+56=960 maneras de distribuir 5 pelotas de un color en 8 cajas numeradas. Por lo tanto, x=960 y la respuesta definitiva al problema es x^2=921600.
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