Un problema de probabilidades

Considere el siguiente problema de probabilidades:

Se tienen 3 bolas verdes y 3 bolas rojas. Cada una de los 6 esferas se parte en dos mitades. Con las 12 mitades así obtenidas se vuelven a formar 6 bolas reagrupando las mitades al azar en parejas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener nuevamente 3 bolas verdes y 3 bolas rojas?

Para poder empezar, necesitamos entender bien el experimento aleatorio. La parte de dividir cada una de las 6 esferas (3 rojas y 3 verdes) en dos mitades es bastante clara. Tendríamos así 12 mitades- 6 mitades rojas y 6 mitades verdes. La siguiente parte referente a "reagrupar las mitades al azar en parejas" podría no estar tan clara, sin embargo. Esta frase engloba el experimento aleatorio en sí. Entender en qué consiste es fundamental para poder calcular la probabilidad requerida.

Imaginemos que tomamos las 12 mitades, las metemos en una urna, revolvemos bien y comenzamos a extraer (sin reposición a la urna) las 12 mitades al azar, una por una. Las 6 primeras mitades las colocamos en una fila una al lado de la otra. Extraemos las otras 6 mitades de la urna y las colocamos en otra fila debajo de las 6 mitades de la fila de arriba. Tendríamos así un arreglo de dos filas y seis columnas, como por ejemplo el que sigue a continuación:

V	V	R	R	V	V
R	R	R	V	R	V

Cada columna en esta tabla indica los colores de las mitades que conforman las 6 pelotas que volvimos a armar. En el caso de ejemplo de arriba, solo hubiésemos obtenido 2 pelotas de un solo color (las mitades del mismo color), las cuales indicamos resaltando las columnas respectivas:

V	V	R	R	V	V
R	R	R	V	R	V

Obtener nuevamente las 3 bolas verdes y las 3 bolas rojas equivale a verificar si 3 de las columnas en esta tabla son verdes y si las otras 3 columnas son rojas. Quizás convendría realizar una simulación para darnos una idea de la frecuencia con la que ocurre esto. En cada ciclo de la simulación, tomamos un vector de 12 elementos, 6 de los cuales son "rojos" y los otros 6 "verdes". Luego permutamos los 12 elementos al azar, lo cual es el equivalente computacional de "revolver las 12 mitades en la urna". Seguidamente, consideramos las 2 mitades de ese vector (una mitad son los primeros 6 elementos y la otra los últimos 6 elementos) para verificar si cada uno de los 6 elementos de los dos vectores son iguales uno a uno. El script en R se muestra a continuación:

#Se tienen:
#3 bolas verdes y 3 bolas rojas.
#Se parte cada esfera en dos mitades.
#Se vuelven a juntar las mitades
#en parejas aleatoriamente.
#¿Cuál es la probabilidad de juntar nuevamente
#3 palos pelotas y 3 pelotas rojas?
M <- c(rep("V",6),rep("R",6))
N <- 1000000  #se repite el experimento un millon de veces
muestra <- replicate(N,{
  revuelto <- sample(M,size=12,replace=FALSE)
  r1 <- revuelto[1:6]
  r2 <- revuelto[7:12]
  if (all(r1==r2)) 1 else 0
  }
)
( mean(muestra) )  #la proporción de veces que ocurre
                   #el evento es una aproximación de su
                   #probabilidad

Este script arroja como resultado la siguiente aproximación de la probabilidad requerida. Claro, como se trata de un experimento aleatorio, la aproximación será distinta cada vez que ejecutemos el script. Sin embargo, con un millón de repeticiones, la variabilidad del resultado es muy poca (consultar sobre la Ley de los Grandes Números).

  [1] 0.021427

Según el resultado de la simulación, la probabilidad de obtener 3 pelotas verdes y 3 pelotas rojas nuevamente es de aproximadamente un 2%. No obstante, "aproximadamente" no es lo mismo que "exacto". Intentaremos seguidamente calcular la probabilidad exacta, pero ya sabemos su valor aproximado.

Primeramente, la cantidad de formas posibles de permutar 12 objetos, 6 de los cuales son de un tipo y 6 de otro, es igual a 12C6 (las combinaciones posibles de 6 objetos escogidos entre 12). Esto es debido a que asignamos cada una de las 6 mitades rojas a cualquiera de las 12 celdas y debemos tomar en cuenta que como las 6 mitades rojas son indistintas entre sí, debemos dividir entre 6! - el número de permutaciones de 6 objetos. La cantidad total de posibles resultados del experimento aleatorio es, pues, igual a 12C6.

Para que formemos nuevamente las 3 pelotas rojas y las 3 pelotas verdes (en lo sucesivo el evento A), es preciso que, considerando la primera fila de 6 mitades, esta contenga exactamente 3 mitades rojas y 3 mitades verdes. Existen 6C3 posibles configuraciones, tomando en cuenta que las 3 mitades de un mismo color son indistintas entre sí. Una vez fijada la configuración de la fila de arriba, la fila de abajo debe tener exactamente la misma configuración que la fila de arriba. Por lo tanto, según la fórmula de la probabilidad de un evento como en cociente entre el número total de casos favorables al evento entre el número total posible de casos equiprobables del experimento aleatorio, tenemos que:

$P(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid \Omega \mid }=\frac{\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right)}=\mathrm{0,02164502}$

Puede corroborar que este resultado concuerda con aquél obtenido por la simulación.

Referencias Bibliográficas

• ARRIOJAS, M. (2004). Teoría de Probabilidades.
• ROMERO, J. L. (2011). Simulación y Modelos.

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