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Lenguaje RProfesor encontré un ejercicio que dice lo siguiente:
Se disponen de 5 bolas rojas y 5 bolas negras en 8 cajas numeradas. ¿Cuantas maneras hay de hacerlo?
Mi pregunta es debe desarrollar tomando en cuenta que todas las cajas deben estar llenas? ¿O se puede trabajar por casos?
Mi respuesta:
Vamos a aclarar el problema un poco. Se tienen 5 pelotas negras y 5
pelotas rojas que se van a colocar en 8 cajas numeradas y hay que
calcular de cuantas formas de pueden colocar las 10 pelotas (de 2
colores distintos) en las 8 cajas numeradas. Las pelotas negras/rojas
son indistintas entre sí mientras que las cajas si son distintas entre
sí porque están numeradas. La otra suposición importante es que
aparentemente no hay restricciones con respecto a la capacidad de cada
caja- por ejemplo, ¡una sola caja pudiese contener las 10 pelotas!
Creo que está claro que primero debemos de calcular de cuantas maneras se puede ubicar 5 pelotas de un color e indistintas entre sí en 8 cajas. Si esta cantidad es x, el número total de formas de distribuir las 10 pelotas (5 pelotas rojas y 5 pelotas negras) en 8 cajas numeradas sería x^2, según el principio de multiplicación.
Primeramente, podríamos distribuir las 5 pelotas en una sola caja y dejar las demás cajas vacías. ¿De cuantas maneras podríamos hacer esto? Pensemos ... Como tenemos 8 opciones, hay 8 formas de colocar un grupo de 5 pelotas en 8 cajas.
Creo que está claro que primero debemos de calcular de cuantas maneras se puede ubicar 5 pelotas de un color e indistintas entre sí en 8 cajas. Si esta cantidad es x, el número total de formas de distribuir las 10 pelotas (5 pelotas rojas y 5 pelotas negras) en 8 cajas numeradas sería x^2, según el principio de multiplicación.
Primeramente, podríamos distribuir las 5 pelotas en una sola caja y dejar las demás cajas vacías. ¿De cuantas maneras podríamos hacer esto? Pensemos ... Como tenemos 8 opciones, hay 8 formas de colocar un grupo de 5 pelotas en 8 cajas.
Seguidamente, podríamos tener un grupo de 4 pelotas y otro grupo de 1
pelota. Primero debemos de ubicar las 4 pelotas en una caja (8
opciones). Luego tenemos 7 cajas vacías para ubicar la quinta pelota (7
opciones). Por lo tanto hay 8x7=56 maneras de ubicar dos grupos de
pelotas (de 4 y 1 pelota) en 8 cajas.
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Pero también podríamos tener un grupo de 3 pelotas y otro grupo de 2 pelotas, con lo cual tendríamos también 8x7=56 maneras de distribuir esos dos grupos en 8 cajas numeradas. En total, hay 56+56=112 maneras de distribuir dos grupos de
pelotas (de distintos tamaños) en 8 cajas numeradas. Nótese que en
ambos casos, el número total de pelotas es 5 hay dos formas de separar
esas 5 pelotas en 2 grupos de modo que las cantidades de pelotas en cada
grupo sumen a 5.
¿Y si tuviésemos 3 grupos de pelotas? Hay dos formas de dividir 5
pelotas en 3 grupos: 2+2+1=5, 3+1+1=5. En cada caso, tenemos que ubicar
el primer grupo de pelotas en una de las 8 cajas, luego el segundo
grupo de pelotas en una de las 7 cajas remanentes y finalmente el tercer
grupo de pelotas se puede ubicar en alguna de las 6 cajas que quedan.
Por lo tanto, hay 3x8x7x6=1008 formas de distribuir 3 grupos de pelotas
en 8 cajas numeradas. ¡Un momento! ¿Acaso poner un grupo de 2 pelotas
en la caja N° 5 y otro grupo de 2 pelotas en la caja N° 4 no es lo mismo
que poner un grupo de 2 pelotas en la caja N° 4 y el otro grupo de 2
pelotas en la caja N° 5? Tanto en el caso 2+2+1 como en el caso 3+1+1,
hay dos grupos de igual tamaño. Por lo tanto, hay que dividir 1008 entre
2 (por que hay 2!=2 maneras de permutar 2 objetos) y en consecuencia,
hay 504 formas de ubicar 3 grupos de pelotas en cajas numeradas.
En el caso de dividir las 5 pelotas en 4 grupos, tendríamos 1 sola manera de hacerlo: 2+1+1+1=5. En este caso, ubicamos el primer grupo de 2 pelotas en cualquiera de las 8 cajas, el segundo grupo de una pelota en una de las 7 cajas, etc. En total, son 8x7x6x5=1680 las formas de ubicar estos 4 grupos en 8 cajas pero debemos tomar en cuenta que hay 3 grupos de igual tamaño que se pueden permutar de 3!=6 maneras y por lo tanto, hay que dividir 1680 entre 6: 280.
Por último, también hay 1 sola manera de dividir las 5 pelotas en 5 grupos: 1+1+1+1+1=5. Hay 8!/(3!x5!)=56 formas de ubicar 5 pelotas en 8 cajas de modo que a lo sumo haya una sola pelota en cada caja.
En total, hay 8+112+504+280+56=960 maneras de distribuir 5 pelotas de un color en 8 cajas numeradas. Por lo tanto, x=960 y la respuesta definitiva al problema es x^2=921600.
En el caso de dividir las 5 pelotas en 4 grupos, tendríamos 1 sola manera de hacerlo: 2+1+1+1=5. En este caso, ubicamos el primer grupo de 2 pelotas en cualquiera de las 8 cajas, el segundo grupo de una pelota en una de las 7 cajas, etc. En total, son 8x7x6x5=1680 las formas de ubicar estos 4 grupos en 8 cajas pero debemos tomar en cuenta que hay 3 grupos de igual tamaño que se pueden permutar de 3!=6 maneras y por lo tanto, hay que dividir 1680 entre 6: 280.
Por último, también hay 1 sola manera de dividir las 5 pelotas en 5 grupos: 1+1+1+1+1=5. Hay 8!/(3!x5!)=56 formas de ubicar 5 pelotas en 8 cajas de modo que a lo sumo haya una sola pelota en cada caja.
En total, hay 8+112+504+280+56=960 maneras de distribuir 5 pelotas de un color en 8 cajas numeradas. Por lo tanto, x=960 y la respuesta definitiva al problema es x^2=921600.
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En el libro de Feller (no tengo a la mano el libro para indicar la página) se muestra que la fórmula para colocar n bolas en r celdas es: (n+r-1)C(r) [combinaciones de tamaño n tomadas de n+r-1 elementos]. Para el caso de n=5, r=8, se tiene que 12C5=792 (diferente de 960 al que se llega en el artículo).
ResponderEliminarLa idea es simple: hay una correspondencia biúnivoca entre todos los arreglos de 5 * (asteriscos) y 7 | (rayitas)(7=8-1), por ejemplo, el arreglo, **|||**|*||| es equivalente a colocar 2 bolas en la celda 1, 2 en la celda 4 y 1 bola en la celda 5, mientras que las celdas 2,3, 6, 7 y 8 está vacías. Para más claridad Feller sugiere que se coloquen dos rayas en los extremos: |**|||**|*||||, pero no cambian el cálculo pues se dejan sin mover.
Hola Ernesto:
ResponderEliminarEl contenido al que te refieres figura en la sección 5 del capítulo II del libro de Feller, el cual debí consultar primero que nada! Gracias por tomarte el tiempo para señalar esto.
En efecto, haciendo la analogía según la cual los asteriscos son las bolas y las rayitas los "límites" de las cajas, se llega al análisis adecuado.
Ahora bien, en el procedimiento ad hoc, largo y sujeto a errores que seguí arriba, hay un error en cuanto al cálculo de la distribución de pelotas en 3 grupos, aunque el abordaje básico del problema no está errado:
La colocación de los tres grupos (en cualquiera de las configuraciones "2+2+1" o "1+3+1") se dá de 8x7x6 maneras, pero como hay dos grupos de igual tamaño, se debe dividir por 2, resultando que hay 168 maneras de distribuir 3 grupos de pelotas en 8 cajas (para cada configuración). Como hay dos configuraciones, tendriamos en total 168x2=336 maneras de distribuir tres grupos de pelotas en 8 cajas.
En total, tendriamos 8 (1 grupo) + 112 (2 grupos) + 336 (3 grupos) + 280 (4 grupos) + 56 (5 grupos) = 792 maneras de distribuir 5 pelotas indistintas en 8 cajas numeradas, lo cual coincide con el resultado de la fórmula expuesta en el Feller.
Por supuesto, desde todo punto de vista, el procedimiento señalado en el Feller es mejor que el que yo seguí (economía de cálculos, valor didáctico, etc. etc.). Sin embargo, no siempre llegamos al mejor prodedimiento para la resolución de un problema de manera directa, sino que, por medio de ensayo y error, además de nuestra tendencia a resolver los problemas "ad hoc" nos auto-condenamos a seguir procedimientos de análisis en los cuales la posibilidad de tener errores es mucho mayor debido a la cantidad de pasos involucrados. La moraleja sería entonces siempre buscar el procedimiento que sea más generalizable, y para eso hubiese sido de provecho hacerse preguntas de tipo: "ok, ¿y si fuesen 8 pelotas y 20 cajas?"