Teoria de Conjuntos - Parte I

Cuando era estudiante en la U.N.A., el material instruccional de Matemáticas I era de un solo tomo grande, en vez de los cuatro tomos que lo componen actualmente.  Dentro de ese único tomo, había una unidad - la Unidad 0 - que, como no era evaluable según el plan de evaluación, casi nadie la estudiaba.  Eventualmente llegue a la conclusión que el estudio de esta Unidad 0 era determinante para entender el resto de la materia.  Muchos de mis compañeros de estudio se quejaban porque las matemáticas en la UNA eran distintas a las que se veían en otras universidades - ellos no habían estudiado la Unidad 0.  De hecho, el contenido de la Unidad 0 sentaba las bases para el resto de las materias del área de matemáticas.  ¿Cuál era entonces el contenido de la Unidad 0?

Teoría de Conjuntos

La Teoría de Conjuntos es una rama fundamental de las matemáticas. Pareciera ser que cualquier objeto matemático es reducible a un conjunto provisto de cierta estructura algebraica o topológica y de ciertas relaciones definidas sobre él. Este enfoque “conjuntista” es un legado importante de las matemáticas del siglo XX; de ahí que los estudiantes se comiencen a familiarizar desde la secundaria con algunos rudimentos de la teoría de conjuntos y la teoría de grupos- la popularmente denominada “matemática moderna”.

Sin embargo, las nociones que fundamentan las premisas más básicas de la teoría de conjuntos no son en lo absoluto modernas. En la evolución y el desarrollo del psiquismo humano, el descubrimiento de que varias entidades antes consideradas distintas pudiesen ser agrupadas en un solo colectivo de acuerdo a ciertas características comunes y puestas en correspondencia uno a uno con otros conglomerados de igual cantidad fue quizás el primer acto de pensamiento humano. Pero este descubrimiento es de naturaleza matemática, porque conlleva simultáneamente la idea de número y conjunto. Incluso, si se reflexiona un poco más sobre ello, este proceder matemático antecede seguramente a la aparición del lenguaje, considerando que para formar palabras ha de agruparse primero varias instancias de objetos reales bajo un solo concepto.Esta operación mental de agrupar varios objetos bajo en una sola clase da origen a la idea del conjunto.

El concepto de conjunto

Cualquier objeto real o conceptual puede ser elemento de algún conjunto. Elemento y conjunto son partes constituyentes de un mismo concepto- el uno se define en función del otro. Ambos términos son por lo tanto indefinibles y se supone en lo sucesivo que el significado de estas nociones primitivas son conocidos por todos. No obstante, se pueden enumerar algunas palabras sinónimas de ellas:

• Conjunto: colección, grupo, clase, conglomerado, colectivo, población, …
• Elemento: miembro, representante, constituyente, …

Conjunto y elemento son dos conceptos relativos- un conjunto a su vez puede ser elemento de otro conjunto de conjuntos y esta operación de síntesis puede efectuarse ad infinitum. Sin embargo, nos interesa resaltar aquí que la operación de síntesis entraña reunir elementos del mismo tipo o de la misma clase.Dicho de otra manera, \(\{a,\{a,b\}\}\) no es, por ejemplo, un conjunto válidamente constituido, pues sus partes \(a\) y \(\{a,b\}\) no son del mismo tipo, sea cual sea la naturaleza de los objetos \(a\) y \(b\), porque \(a\) es un elemento singular y \(\{a,b\}\) es un elemento que a su vez es conjunto.  Para dar mayor consistencia al concepto de conjunto, es menester definir con la mayor precisión posible cuál es la naturaleza común de los elementos que constituyen al conjunto.  Así, manzana, cambur, mandarina y ciruela constituyen un conjunto de frutas (frutas es la clase común). Reunir un teléfono celular viejo, unos anteojos pandos y un carro Volkswagen Escarabajo chocado por los cuatro costados como elementos de un mismo conjunto tendría sentido si ese conjunto representa los bienes materiales propiedad de quien esto escribe, aún cuando estos objetos no tienen aparentemente nada en común.  En todo caso, en ambos ejemplos se ha definido con cierta precisión el universo del discurso, lo cual permite  comparar diversos conjuntos entre si y realizar operaciones entre ellos, como la unión, la intersección y la complementación.  El universo del discurso es el conjunto que generaliza a todos los subconjuntos en cuestión- como indica el término discurso, este define el tipo o la naturaleza más general a la cual se refieren las consecuencias derivadas lógicamente del modelo conjuntista.

Para definir un conjunto, es necesario disponer de un criterio que permita establecer claramente si un objeto cualquiera es miembro o no de ese conjunto.  En la teoría de conjuntos clásica, solo hay dos alternativas con respecto a la membresía: un elemento o pertenece o no pertenece a un determinado conjunto.Recientemente, se ha definido un tipo de conjunto, denominado conjunto difuso, para superar esta limitación.  Considérese por ejemplo el conjunto de personas pobres. Sin duda, ni Bill Gates ni el Rey Abdullah de Arabia Saudita pertenecen a este conjunto. Por otro lado, un indigente sin techo y sin fuente de ingresos pertenece claramente a este conjunto. Pero, ¿que hay del resto de nosotros? En ese punto el criterio de membresía al conjunto de los pobres se vuelve difuso. Pareciera que algunos “pertenecemos más” al conjunto de pobres que otros- sobre todo los que subsistimos con un salario de profesor universitario. El prometedor concepto de conjunto difuso pretende modelar más adecuadamente este tipo de realidades, pero no será tratado en esta entrada del blog ni en su segunda parte.

Tomando en cuenta el criterio de membresía de un conjunto, existen dos formas de definirlo explícitamente.  La primera forma es definiéndolo por extensión, lo cual consiste en enumerar los elementos en una lista, separándolos por comas y encerrando la lista en llaves.  Por ejemplo: \(\{a,b,c,d,e,f\}\)

Esto es posible solo cuando la cantidad de elementos de ese conjunto (su cardinalidad) es finita o por lo menos, sus elementos son enumerables. Técnicamente hablando, la enumerabilidad o la finitud de un conjunto se refieren a que es posible establecer una correspondencia uno-a-uno de sus elementos con los elementos de algún subconjunto de los números naturales. Cuando esto no es posible, como en el caso de los números reales en el intervalo \((0,1)\), por ejemplo, se dice que aquel conjunto tiene la potencia del continuo. Como se dijo en la introducción, las matemáticas discretas tratan solamente con conjuntos enumerables- los conjuntos con potencia del continuo no serán objeto de este curso.

En cuanto a los conjuntos definidos por extensión es importante notar que el orden de enumeración o la multiplicidad con la que figuran los objetos en la lista es irrelevante para este tipo de estructuras matemáticas.  Así por ejemplo:

• \(\{a,b,c,d\} = \{d,b,a,c\}\) : Se trata del mismo conjunto, irrespectivo del orden de enumeración de los elementos.
• \(\{a,b,b,c,c,c\} = \{a,b,c\}\): Se trata del mismo conjunto, irrespectivo de cuantas veces se enumera un mismo elemento.

Si en el sistema que deseamos modelar es relevante el orden o la multiplicidad en la enumeración de los constituyentes de una colección, entonces debemos considerar utilizar otras estructuras matemáticas alternativas al conjunto.Obsérvese que el criterio de membresía implícito en la definición de un conjunto por extensión es bastante sencillo y por decirlo de alguna manera, arbitrario: un elemento pertenece al conjunto si y solo si figura en la lista de enumeración.

El otro método para definir conjuntos es por comprensión. Para definir un conjunto por comprensión, se requiere formular el criterio de membresía explícitamente mediante las proposiciones o relaciones lógicas que cumplen los elementos del conjunto.Por ejemplo:

El conjunto de todos los puntos de la recta real que distan de 5 en no más de 2 unidades es  \(\{x\in\mathbb{R}\vert \,|x-5|\leq 2\}\).

Este conjunto contiene una infinidad de elementos, pero su cardinalidad es de un orden mayor que la cardinalidad de un conjunto infinito pero enumerable.  De hecho, tiene potencia la del continuo.  Obsérvese que sin embargo, esta infinitud de elementos se reúne bajo una simple sentencia en lenguaje natural o una aún más sucinta frase en el lenguaje matemático de la notación de conjuntos.  Tal es el poder del lenguaje matemático.   Podría decirse que el mayor o menor grado de éxito en desarrollar un modelo matemático que permita establecer inferencias significativas dentro del contexto de una determinada realidad depende principalmente de la habilidad del investigador de “traducir” la esencia de la realidad o problema a una formulación del mismo en lenguaje matemático.

En el ejemplo anterior figuran algunos elementos de notación que vale la pena destacar. El símbolo “\(\in\)” indica membresía.  Por convención, los conjuntos se denotan por letras mayúsculas (A,B,C,…) y los elementos por letras minúsculas. Entonces, si A es un conjunto y x es un elemento, la frase \(x\in A\) es una proposición lógica- algo que tiene valor de verdad o falsedad según x sea miembro o no del conjunto A. Dicho sea de paso, si se quisiera expresar la no pertenencia se utilizaría el símbolo “\(\notin\)”: \(x\notin A\) se traduce por “x no pertenece al conjunto A”. El otro aspecto de la notación que vale la pena señalar es el símbolo “|” que aparece después de la proposición de membresía en el ejemplo. “|” puede traducir por “tales que” e indica efectivamente que los elementos señalados en la proposición anterior han de cumplir con la o las propiedades que se dan seguidamente para pertenecer al conjunto en cuestión.

Existen dos conjuntos especiales en cuanto a sus relaciones con la noción de membresía. Uno de ellos es el conjunto vacío, denotado por el símbolo \(\emptyset\). Por definición, \(\emptyset\) es el conjunto sin elementos- ningún elemento pertenece a el:

\[\emptyset=\{\}\qquad\text{y}\qquad\forall x:\, x\notin\emptyset\]

En contraposición, el conjunto universal o universo del discurso es el conjunto más general posible- todo elemento pertenece a este conjunto. El conjunto universal es la clase de objetos admisibles dentro de un contexto o discurso y se supone que ha sido determinado a priori. Lo denotaremos aquí por la letra griega omega \(\Omega\):

\[\forall x: x\in\Omega\]

Otra noción importante es la noción de igualdad o equivalencia entre conjuntos.  Dos conjuntos se consideran iguales si todo elemento de uno es miembro del otro y viceversa.  Formalmente, tenemos la siguiente

Definición – (Igualdad entre conjuntos)

Sea A y B dos conjuntos.  A y B son iguales si y solo si cualquier elemento \(a\in A\) pertenece a B y cualquier elemento \(b\in B\) es miembro de A.  En notación matemática:

\[A=B\quad \iff\quad  x\in A\, \rightarrow\, x\in B\,\text{ y }\, x\in B\,\rightarrow\, x\in A\]

La igualdad entre conjuntos también se puede definir por medio del concepto de inclusión.  Un conjunto incluye a otro conjunto cuando todo miembro de este es también miembro de aquel.

Definición – (Inclusión)

Sea A y B dos conjuntos.  B incluye A o equivalentemente, A esta incluido en B (\(A\subset B\))  cuando todo elemento de A pertenece a B.   En notación matemática:

\[A\subseteq B\quad\iff\quad   x\in A \rightarrow  x\in B\]

Según esto, tenemos como consecuencia que

\[A=B\quad \iff\quad A\subseteq B\, \text{y}\, B\subseteq A\]

y que además

\[\emptyset \subset A\text{ para cualquier conjunto A}\]

porque como \(\emptyset\) no contiene elementos, la implicación \(x\in \emptyset\,\rightarrow\, x\in A\) siempre es verdadera para cualquier conjunto A.  Nótese que el símbolo \(\subset\) denota inclusión estricta, es decir, cuando un conjunto es subconjunto de otro excluyendo la posibilidad que ambos conjuntos sean iguales.

Una cuestión interesante es determinar, para un conjunto de cardinalidad finita con \(n\) elementos, cuantos subconjuntos de este se pueden formar.  Si el conjunto en cuestión \(X\) tiene por lo menos un elemento, entonces de forma trivial se tienen por lo menos dos subconjuntos de él distintos: \(\emptyset\) y \(X\) mismo.  Se puede aseverar que para un conjunto con \(n\) elementos, existen \(2^n\) subconjuntos distintos.  No se pretende en lo que sigue dar una demostración matemática rigurosa de esta afirmación, sino más bien argumentarla de forma intuitiva en un lenguaje computista: imagínese que se tiene una cadena de \(n\) bits donde el valor de cada bit indica la membresía del elemento correspondiente en el subconjunto.   Como cada bit asume uno de dos posibles valores en \(\{0,1\}\) y la cadena asociada al subconjunto es de \(n\) bits, existen \(2^n\) secuencias de bits distintas y por lo tanto existen \(2^n\) subconjuntos diferentes de un conjunto de n elementos.  

Referencias Bibliográficas

• LIPSCHUTZ, S. (1991). Teoría de Conjuntos y Temas Afínes. Serie Schaum. McGraw-Hill. Caracas.
• MONAGAS, O., ORELLANA, M. y RIVAS, A. (1994). Algebra I – Tomo I. Caracas: Universidad Nacional Abierta.
• PREPARATA, F. y YEH, R. (1973). Introduction to Discrete Structures. Reading, Massachussets: Addison-Wesley Publishing Co.

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