Algunos comentarios sobre el valor absoluto (Objetivo 3 de Matemática I)

En Venezuela, llamamos "concha de mango" a aquellas preguntas capciosas aparentemente fáciles. Tras corregir la Primera Parcial de Matemáticas I, lapso 2017-1 y al ver cómo respondieron la mayoría de los estudiantes, se me hace que la pregunta del Objetivo 3 es, aparentemente, una concha de mango. El enunciado de esta pregunta dice así:

Resuelva la siguiente ecuación con valor absoluto: \(|x-\alpha+1|=\sqrt{3}-10\)
Nota: La letra \(\alpha\) es el número terminal de su cédula.

Quienes han tenido exposición al concepto de la función valor absoluto, que es parte del contenido a evaluar para el objetivo 3, saben que tales ecuaciones se resuelven planteando dos casos. En un caso, la expresión encerrada dentro del valor absoluto a la izquierda se iguala a la expresión de la derecha y en el otro caso, la expresión dentro del valor absoluto se iguala con el opuesto (el negativo) de la expresión a la derecha. Así por ejemplo, \(|x|=2\) tendría dos soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\). Para esta pregunta, el planteamiento sería:

Caso 1

\[\begin{align*} x-\alpha+1 &= \sqrt{3}-10\qquad\qquad & \rightarrow \\ x &= \sqrt{3}-11+\alpha \end{align*} \]

Caso 2

\[\begin{align*} x-\alpha+1 &= 10 - \sqrt{3} \qquad\qquad & \rightarrow \\ x &= 9 + \alpha - \sqrt{3} \end{align*} \]

Y en ambos casos, sustituyes \(\alpha\) por el dígito terminal de tu cédula, que luego agrupas y simplificas con el 9 o el -11, dejando el término raíz de 3 implícitamente representado ese valor real (si sustituimos \(\sqrt{3}\) por un valor decimal explícitamente, estaríamos dando siempre un valor aproximado, pues \(\sqrt{3}\) es un número irracional) .

¿Es del todo correcta esta solución? ¿Fue así como respondieron Ustedes?

Veamos ... Repasando un poco la teoría en el texto UNA del curso (Módulo I, Unidad 3, Sección 3.3, p. 134), leemos que el valor absoluto es una función definida como sigue:

\[ |x| = \left\{ \begin{array}{rl} x & \text{si } x \geq 0\\ -x & \text{si } x \lt 0\\ \end{array} \right. \]

Podemos considerar el valor absoluto como la distancia de un valor real al cero en la recta numérica. La duplicidad de casos en la definición del valor absoluto dada arriba, según sea el valor de x negativo o no, implica que para resolver ecuaciones con valor absoluto, debemos plantear dos casos, como lo hicimos arriba. Pero todavía hay un detalle ... Si seguimos leyendo en la siguiente página del texto UNA, donde enumeran las PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO, en la segunda propiedad se establece que:

\(|x|\geq 0\) para todo x.

Esto último es importante- el valor absoluto siempre es positivo, pues representa la distancia de un valor real al cero y las distancias siempre son magnitudes positivas. Dicho de otro modo, si \(|x|\geq 0\) para todo x, entonces \(|x|\lt 0\) para ningún x. ¿Y qué tiene que ver todo esto con la pregunta del examen? Pues que \(\sqrt{3}-10\), la expresión a la derecha de la igualdad, es una cantidad negativa y por lo tanto la ecuación planteada no tiene solución. En otras palabras, los casos 1 y 2 que plantee al principio no aplican, pues la ecuación no tiene solución en los números reales en virtud de que \(\sqrt{3}-10\) es una cantidad negativa- esa era la respuesta. Vale decir que solamente un estudiante entre más de 150 exámenes que corregí respondió algo a estos efectos. ¿Vieron la concha de mango? Los invito a participar el los comentarios abajo de esta entrada :).

Intenten ahora resolver el ejercicio propuesto 2f en la sección 3.3, p. 138 y luego pueden consultar la respuesta en la p. 179. Como sugerencias finales, les voy a indicar que lean siempre las definiciones y las propiedades cuidadosamente, pues estas contienen muchas cosas entre líneas y les voy a dejar como tarea hacer una plana, escribiendo lo siguiente unas 100 veces:

No hay valores absolutos negativos.
No hay valores absolutos negativos.
No hay valores absolutos negativos.
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