miércoles, 21 de noviembre de 2012

Aventura de Regresión Lineal y el método de eliminación hacia atrás paso a paso

En el semestre 2012-1, los trabajos de estadística se basaron en una data correspondiente a 150 observaciones de algunas variables relacionadas al tema de la nutrición infantil. Especificamente, la muestra de 150 niños con edades comprendida entre 5 y 13 años recopilaba información sobre las siguientes variables:
  • X1 Indice de masa corporal o IMC, calculado según la siguiente fórmula: IMC=peso/estatura^2.
  • X2 Edad en años.
  • X3 Edad ósea en años.
  • X4 Sexo.
  • X5 Peso en kilogramos.
  • X6 Estatura en metros.
  • X7 Indice de actividad física.
  • X8 Calorias consumidas por día en kcal.
  • X9 Nivel de colesterol en la sangre medido en mg/dl.
  • X10 Nivel de glicemia en la sangre medido en mg/dl..
Para evaluar los objetivos referentes a la regresión lineal múltiple de las asignaturas 746 y 738/748, se planteaban dos modelos lineales con todas las variables que se debían depurar mediante el método de eliminación paso a paso hasta obtener modelos con todas sus variables significativas. El primer modelo consideraba la variable X1 como variable independiente, según la siguiente fórmula: 

X 1 = b 0 + b 1 X 2 + b 2 X 4 + b 3 X 8 + b 4 X 9 + b 5 X 10 + ε

El enunciado pedía aplicar el procedimiento de eliminación de variables paso a paso (eliminación hacia atrás) para obtener el "mejor" modelo en cada caso. Seguidamente, había que realizar un análisis de residuos sobre el modelo final obtenido y por supuesto, justificar cada uno de los pasos. A continuación les ofrezco una breve relatoria sobre los resultados de esta experiencia.

Todo el análisis fué realizado en R (ver la salida del script al final de esta entrada). En R (cómo en SPSS y otros programas de estadística) existen librerías que incluyen funciones para realizar la eliminación hacia atrás o la inclusión hacia adelante de forma automatizada, obteniendo el modelo final mediante una sola llamada a la función. Yo no utilicé tales funciones porque requieren la instalación de paquetes que no vienen incluidos por defecto en la instalación base de R. Además, el uso de estos procedimientos automatizados requiere de mucha discresión. De hecho, los procedimientos como el de la eliminación paso a paso, que se basan en ir eliminando la variable con el menor estadístico F en la tabla ANOVA o el menor estadístico T en las pruebas parciales de los coeficientes son bastante controversiales, por las siguientes razones:
  1. Estos procedimientos se justifican cuando hay una grán cantidad de variables predictoras y no existe un cuerpo de teoría que le permita al investigador tener una idea a priori sobre cuales predictores incluir en el modelo. Este no es el caso aqui: son pocas variables predictoras y si el estudiante hizo la tarea investigando sobre el tema del sobre peso y el indice de masa corporal, debería tener una vaga idea sobre cuales variables inciden sobre el IMC o los niveles de colesterol en la sangre (X9).
  2. Hay mucha controversia entre los especialistas sobre los criterios de inclusión/exclusión de variables en estos algoritmos. Por ejemplo, los valores de los estadísticos F parciales (o los estadísticos t de cada coeficiente) pueden depender del orden de inclusión de las variables en el modelo, con el agravante de que cada secuencia de pruebas es condicionada por las secuencias previas y la resultante exclusión/inclusión. Por último, esto tiende a crear modelos demasiado pequeños (muy pocas variables).
Por mi parte no me gustan los procedimientos automáticos de ajuste de modelos- hay demasiados factores a considerar. Ejemplo de ello es el ajuste que vamos a realizar de los modelos que piden en el enunciado. Para el modelo 1, que inicialmente es X1 ~ X2 + X4 + X9 + X8 + X10 + intercepto. Se dieron los siguientes pasos:
  1. El R2 ajustado incialmente fué de 29,11%. Se eliminó la variable X10.
  2. Se eliminó la variable X8.
  3. Se eliminó la variable X9.
  4. Se eliminó la variable X4 (fíjese que el p-valor del estadístico t no es mucho mayor que 5%). De hecho, mi "intuición" me dice que esta variable no se debería eliminar. X4 es el sexo y si creo que es significativa sobre el IMC...
  5. Tenemos el modelo X1 ~ X2 + intercepto, con un R2 ajustado de apenas 27,47%.
  6. En este momento se hace el análisis de residuos del modelo final, observando que en la gráfica de residuos versus predictores, la gráfica de dispersión de X2 versus residuos (ver fig. 1) presenta una forma característica de U que indica que hay algúna relación no lineal entre esa variable y la variable X1. Por cierto, en mi librería estUNA, estas gráficas incluyen una línea de tendencia verde (estimador LOWESS de la tendencia en una gráfica de dispersión) para guiar al estudiante a apreciar este tipo de patrones. Esto no lo hace Excel.
  7. Guiado por otra "intuición" (¿vé porqué no me gustan los procedimientos automáticos?), me pregunto porqué diablos no hice un análisis de residuos con el modelo inicial (el que incluye todas las variables) desde el principio. Esto reveló que en efecto, sigue habiendo un indicativo de relación no lineal entre X2 y X1 que este modelo no capturó (con una grafica de residuos versus predictores muy similar a la gráfica de la fig. 1). No observó otras relaciones no lineales con otras variables (las deviaciones de horizontalidad de la línea verde en las otras gráficas se debe a la poca presencia de valores de las variables en el eje X o a valores atípicos con mucha influencia sobre la regresión). Es entonces cuando decido incluir un término cuardático para X2 a mi modelo. Al incluir X2^2, mi R2 ajustado sube a 33,72% y la variable X2^2 es significativa. Vamos bien.
  8. De golpe, se me aviene a la mente otra "intuición"- ¿porqué no volver a incluir la variable X4 (sexo)? Lo hago así y sube el R2 ajustado a 36,11%. La variable X4 también resulta significativa en este modelo (p-valor igual a 1%). Observe que aún cuando X4 no era significativa según la eliminación paso a paso, al incluir una nueva variable - X2^2 - sí resultó significativa! ¿Se dá cuenta porqué hay controversia sobre estos métodos de ajuste de modelos?
  9. Mi interpretación de este modelo es la siguiente: El IMC depende de la edad y el sexo. Durante la adolecencia, los varones suelen "estirarse" en estatura haciendo que el IMC baje, pero con la edad ganan peso y el IMC sube nuevamente. Este fenómeno se diferencia según el sexo- las hembras se estiran a una edad distinta. El efecto de "estirarse" durante la adolescencia explica porqué la relación entre X2 y el IMC es la de una parábola convexa (U hacia arriba). Sin embargo, creo que este modelo sólo sería efectivo para este rango de edades. Para edades mucho mayores que los 13 años, el modelo predice un IMC muy por encima de los esperados.
Fig. 1 - Análisis de residuos. Observe el patrón
de U en el diagrama de dispersión.

Para el modelo 2 se siguieron pasos similares a lo arriba expuesto, obteniendo que el mejor modelo para X9 (colesterol) es aquél que incluye un polinómio de grado dos con la variable X8 (calorias consumidas). Aún así, el R2 de este modelo es demasiado bajo como para ser útil.

Por cierto, en el modelo 1 por ejemplo, los residuos parecen conformarse a los supuestos teóricos de los modelos de regresión lineal: los residuos no tienen desviaciones importantes de normalidad (Fig. 2) y parecen ser heteroscedásticos e independientes entre si y las variables del modelo (Fig. 3).



Fig. 2 - Gráficas de ajuste de normalidad de los residuos
y plot cuantíl-cuantíl para verificar la normalidad.


Fig. 3 - Análisis de residuos final para el modelo 1.
Verificación de homocedasticidad e independencia
de los residuos y las variables de predicción.


La moraleja- hay que hacer el análisis de residuos desde el principio para detectar no-linealidades entre las variables o cualquier problema con los modelos (revise mi artículo titulado "Análisis de Residuos para Dummies"). Otra moraleja- dejese guiar por su intuición: la estadística tiene más de árte que de procedimientos mecánicos. La estadística es una ciencia oculta.

R version 2.14.2 (2012-02-29) Copyright (C) 2012 The R Foundation for Statistical Computing ISBN 3-900051-07-0 Platform: x86_64-pc-linux-gnu (64-bit) R es un software libre y viene sin GARANTIA ALGUNA. Usted puede redistribuirlo bajo ciertas circunstancias. Escriba 'license()' o 'licence()' para detalles de distribucion. R es un proyecto colaborativo con muchos contribuyentes. Escriba 'contributors()' para obtener más información y 'citation()' para saber cómo citar R o paquetes de R en publicaciones. Escriba 'demo()' para demostraciones, 'help()' para el sistema on-line de ayuda, o 'help.start()' para abrir el sistema de ayuda HTML con su navegador. Escriba 'q()' para salir de R.
> #----------------------------------------------------
> #script para el trabajo de la 746, lapso 2012-1
> #----------------------------------------------------
> #Carga la librería estUNA y ubica los datos de este
> #semestre
> load("estUNA")
> attach(d20121)
> #pdf("trabajo746.pdf")
> png("trabajo%02d.png")
> #Genera la variable X1
> X1 <- round(X5/X6^2,digits=2)
> #----------------------------------------------------
> #MODELO1
> #----------------------------------------------------
> modelo1 <- regresion.lineal(X1~X2+X4+X9+X8+X10)
> resumen(modelo1)
---------------------------------------------------------
Resumen de regresion lineal
  MODELO         : modelo1    Marco de datos : variables globales    Formula        : X1 ~ X2 + X4 + X9 + X8 + X10  Estimacion de los coeficientes poblacionales        Estimacion   Error Est.   Estadistico T    p-valor [Int]  9.9393823481 2.0222851574     4.9149262 2.3869e-06 X2     0.3609888788 0.0491676987     7.3419926 1.4257e-11 X41    0.4504463538 0.2315323235     1.9455009   0.053663 X9     0.0124392038 0.0080671047     1.5419663   0.125276 X8    -0.0003852448 0.0002983862    -1.2910948   0.198740 X10    0.0099836186 0.0135616497     0.7361655   0.462828 Prueba F global   Valor F : 13.24102   gl. num: 5   gl. den : 144    p-valor : 1.2941e-10  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.3149548   R^2 ajustado : 0.2911685  Residuos   Minimo  : -3.207713    Mediana : 0.004358484    Maximo  : 3.229979    Desv. estandar residual:  1.367149  --------------------------------------------------------- > #graficar(modelo1)
> modelo1 <- regresion.lineal(X1~X2+X4+X9+X8)
> resumen(modelo1)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo1    Marco de datos : variables globales    Formula        : X1 ~ X2 + X4 + X9 + X8  Estimacion de los coeficientes poblacionales          Estimacion   Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  10.817027359 1.6309212992      6.632464 6.0987e-10 X2      0.353884004 0.0481349612      7.351912 1.3192e-11 X41     0.446365447 0.2311000578      1.931481   0.055374 X9      0.012749762 0.0080433321      1.585134   0.115114 X8     -0.000399444 0.0002972914     -1.343611   0.181173 Prueba F global   Valor F : 16.46782   gl. num: 4   gl. den : 145    p-valor : 3.8168e-11  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.3123767   R^2 ajustado : 0.2934078  Residuos   Minimo  : -3.313198    Mediana : -0.007141708    Maximo  : 3.304436    Desv. estandar residual:  1.364988  --------------------------------------------------------- > modelo1 <- regresion.lineal(X1~X2+X4+X9)
> resumen(modelo1)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo1    Marco de datos : variables globales    Formula        : X1 ~ X2 + X4 + X9  Estimacion de los coeficientes poblacionales          Estimacion Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  10.726946123 1.63403053      6.564716 8.5259e-10 X2      0.359219626 0.04810299      7.467719 6.8329e-12 X41     0.457919817 0.23157602      1.977406   0.049879 X9      0.009890414 0.00777806      1.271579   0.205545 Prueba F global   Valor F : 21.23818   gl. num: 3   gl. den : 146    p-valor : 1.791e-11  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.3038156   R^2 ajustado : 0.2895104  Residuos   Minimo  : -3.4445    Mediana : 0.01699545    Maximo  : 3.436306    Desv. estandar residual:  1.368747  --------------------------------------------------------- > modelo1 <- regresion.lineal(X1~X2+X4)
> resumen(modelo1)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo1    Marco de datos : variables globales    Formula        : X1 ~ X2 + X4  Estimacion de los coeficientes poblacionales        Estimacion Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  12.7293771 0.43701846     29.127779 < 2.22e-16 X2      0.3592637 0.04820381      7.453016 7.2307e-12 X41     0.4277187 0.23083769      1.852898   0.065902 Prueba F global   Valor F : 30.91906   gl. num: 2   gl. den : 147    p-valor : 6.1916e-12  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.2961055   R^2 ajustado : 0.2865287  Residuos   Minimo  : -3.231319    Mediana : 0.01775983    Maximo  : 3.431739    Desv. estandar residual:  1.371616  --------------------------------------------------------- > modelo1 <- regresion.lineal(X1~X2)
> resumen(modelo1)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo1    Marco de datos : variables globales    Formula        : X1 ~ X2  Estimacion de los coeficientes poblacionales        Estimacion Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  12.8272191 0.43736813     29.328198 < 2.22e-16 X2      0.3670029 0.04841566      7.580251 3.4923e-12 Prueba F global   Valor F : 57.4602   gl. num: 1   gl. den : 148    p-valor : 3.4923e-12  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.2796658   R^2 ajustado : 0.2747987  Residuos   Minimo  : -2.966373    Mediana : -0.03913403    Maximo  : 3.668746    Desv. estandar residual:  1.382845  --------------------------------------------------------- > modelo1 <- regresion.lineal(X1~X2+I(X2^2))
> resumen(modelo1)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo1    Marco de datos : variables globales    Formula        : X1 ~ X2 + I(X2^2)  Estimacion de los coeficientes poblacionales        Estimacion Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  19.1813771 1.69562250     11.312292 < 2.22e-16 X2     -1.1762778 0.40178676     -2.927617 0.00395964 X2^2    0.0871831 0.02254666      3.866785 0.00016511 Prueba F global   Valor F : 38.91451   gl. num: 2   gl. den : 147    p-valor : 2.7332e-14  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.3461698   R^2 ajustado : 0.3372742  Residuos   Minimo  : -2.509407    Mediana : -0.1023154    Maximo  : 3.559675    Desv. estandar residual:  1.321938  --------------------------------------------------------- > modelo1 <- regresion.lineal(X1~X2+I(X2^2)+X4)
> resumen(modelo1)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo1    Marco de datos : variables globales    Formula        : X1 ~ X2 + I(X2^2) + X4  Estimacion de los coeficientes poblacionales        Estimacion Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  19.6459116 1.67480152     11.730292 < 2.22e-16 X2     -1.3305022 0.39911327     -3.333646  0.0010864 X2^2    0.0953210 0.02236676      4.261726  3.621e-05 X41     0.5620888 0.22070200      2.546822  0.0119065 Prueba F global   Valor F : 29.07335   gl. num: 3   gl. den : 146    p-valor : 8.4809e-15  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.3739818   R^2 ajustado : 0.3611184  Residuos   Minimo  : -2.814932    Mediana : -0.1555243    Maximo  : 3.214668    Desv. estandar residual:  1.29794  --------------------------------------------------------- > graficar(modelo1)
> #---------------------------------------------------- > #MODELO2 > #---------------------------------------------------- > modelo2 <- regresion.lineal(X9~X1+X2+X4+X8+X10)
> resumen(modelo2)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo2    Marco de datos : variables globales    Formula        : X9 ~ X1 + X2 + X4 + X8 + X10  Estimacion de los coeficientes poblacionales          Estimacion   Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  161.97869371 17.864219175     9.0672137 8.1917e-16 X1       1.30581723  0.846851974     1.5419663 0.12527648 X2      -0.27761681  0.590117211    -0.4704435 0.63874995 X41     -3.06137905  2.389623457    -1.2811136 0.20221308 X8       0.01022012  0.002954539     3.4591235 0.00071311 X10      0.07344650  0.139076249     0.5281024 0.59824116 Prueba F global   Valor F : 3.103189   gl. num: 5   gl. den : 144    p-valor : 0.010855  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.09726893   R^2 ajustado : 0.06592411  Residuos   Minimo  : -36.61831    Mediana : -0.4628569    Maximo  : 37.4289    Desv. estandar residual:  14.0075  --------------------------------------------------------- > modelo2 <- regresion.lineal(X9~X1+X4+X8+X10)
> resumen(modelo2)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo2    Marco de datos : variables globales    Formula        : X9 ~ X1 + X4 + X8 + X10  Estimacion de los coeficientes poblacionales          Estimacion  Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  161.67709284 17.80471072      9.080580 7.2407e-16 X1       1.09803148  0.72060593      1.523761 0.12974637 X41     -3.04447122  2.38292885     -1.277617 0.20342613 X8       0.01026969  0.00294472      3.487493 0.00064569 X10      0.08660736  0.13586725      0.637441 0.52484285 Prueba F global   Valor F : 3.844302   gl. num: 4   gl. den : 145    p-valor : 0.0053307  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.09588151   R^2 ajustado : 0.07094031  Residuos   Minimo  : -35.96905    Mediana : -0.4268156    Maximo  : 37.82659    Desv. estandar residual:  13.96984  --------------------------------------------------------- > modelo2 <- regresion.lineal(X9~X1+X4+X8)
> resumen(modelo2)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo2    Marco de datos : variables globales    Formula        : X9 ~ X1 + X4 + X8  Estimacion de los coeficientes poblacionales          Estimacion   Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  169.56149016 12.780959448     13.266726 < 2.22e-16 X1       1.07744252  0.718416600      1.499746 0.13583948 X41     -3.09919146  2.376535563     -1.304080 0.19425870 X8       0.01019272  0.002936255      3.471333 0.00068139 Prueba F global   Valor F : 5.010667   gl. num: 3   gl. den : 146    p-valor : 0.0024586  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.09334791   R^2 ajustado : 0.07471807  Residuos   Minimo  : -35.83157    Mediana : -0.1794051    Maximo  : 39.26263    Desv. estandar residual:  13.94141  --------------------------------------------------------- > modelo2 <- regresion.lineal(X9~X1+X8)
> resumen(modelo2)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo2    Marco de datos : variables globales    Formula        : X9 ~ X1 + X8  Estimacion de los coeficientes poblacionales          Estimacion   Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]  170.56986487 12.787913387     13.338366 < 2.22e-16 X1       0.92115246  0.710035602      1.297333 0.19654904 X8       0.01038678  0.002939462      3.533565 0.00054835 Prueba F global   Valor F : 6.63407   gl. num: 2   gl. den : 147    p-valor : 0.001744  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.08278713   R^2 ajustado : 0.07030804  Residuos   Minimo  : -37.58161    Mediana : 0.4793699    Maximo  : 40.21525    Desv. estandar residual:  13.97459  --------------------------------------------------------- > modelo2 <- regresion.lineal(X9~X8+I(X8^2))
> resumen(modelo2)
--------------------------------------------------------- Resumen de regresion lineal   MODELO         : modelo2    Marco de datos : variables globales    Formula        : X9 ~ X8 + I(X8^2)  Estimacion de los coeficientes poblacionales           Estimacion   Error Est. Estadistico T    p-valor [Int]   1.522697e+02 1.647125e+01      9.244572 2.5171e-16 X8      5.414282e-02 2.091370e-02      2.588868   0.010596 X8^2   -1.359345e-05 6.368918e-06     -2.134342   0.034474 Prueba F global   Valor F : 8.182145   gl. num: 2   gl. den : 147    p-valor : 0.00042734  Coeficientes de determinacion    R^2 : 0.1001705   R^2 ajustado : 0.08792796  Residuos   Minimo  : -39.82377    Mediana : 0.7860429    Maximo  : 42.5595    Desv. estandar residual:  13.84153  --------------------------------------------------------- > 

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